Das SATOR-Quadrat und die Quadratform des Einmaleins

III. Die Struktur des Einmaleins-Quadrats

(Fortsetzung)

a) Aufbau des Quadrats

b) Die Werte der konzentrischen Quadrate

c) Die Diagonale und die zwei Hälften

d) Die Faktorenwerte der drei inneren Quadrate

e) Die 4 Achsen

f) 8 mal 6 Felder

b) Die Werte der konzentrischen Quadrate

1.       Die Summe der Zahlen von 1-9 ist 9*5 = 45. Die Summe der zweiten Reihe der 1x1-Tabelle ist dann das Doppelte, 2*45 = 90. Am Ende des Tabellenaufbaus steht dann (1-9)*45 = 45*45 = 9²*5² = 81*25. Da die Tabelle aus 81 Zahlen besteht, ist der Durchschnittswert je Zahl 25.

Zwei Zahlen der horizontal-vertikalen Achse ergänzen sich zu 50, die anderen Zahlen in Gruppen zu je vier zur Summe 100. Als Beispiel diene das innerste 3*3 Quadrat:

24

30

36

20

25

30

16

20

24

Vom Mittelpunkt dehnen sich die Achsen der vier Quadrate jeweils um zwei Punkte konzentrisch aus. Die konzentrischen Quadrate der 1x1-Tabelle sind also gekennzeichnet durch die Zahlenfolge 3-5-7-9. Die Summen der einzelnen Quadrate ist daher 3²*5², 5²*5², 7²*5², 9²*5² = 15², 25², 35², 45².

Wenn nun die Summen aller 4 Quadrate jeweils durch 25 teilbar sind, erscheint das Quadrat 25*25 = 625 als das modellhafteste von allen.

2.       Die Symmetriemitte der Zahlen 1-25 ist 13, in der Reihenfolge des lateinischen Alphabets der Buchstabe N. Dieser ist auch der Mittelpunkt des SQ, was darauf schließen läßt, daß man die 5 Reihen von je 5 Punkten von außen nach innen numerierte und den Mittelpunkt als einzigen aller Buchstaben des SQ mit dem Buchstaben besetzte, der im Alphabet den 13. Platz innehat.

3.       Die Summe der Zahlen von 1-25 ist 13*25 = 325. Das Verhältnis dieser Summe zur Summe 625 in der 1x1-Tabelle ist demnach 25*(13:25). Die erste Verhältniszahl 13 ist die Mittelpunktszahl der zweiten 25.

Die Quadratzahl 25 hat die einzigartige Eigenschaft, Mittelpunktszahl einer weiteren Quadratzahl zu sein, nämlich 49. Die Zahlen 5 und 7 sind auf diese Weise engstens miteinander verbunden. Die Summe der Zahlen des 7*7-Punkte Quadrats in der 1x1-Tabelle ist 49*25 =1225, das Verhältnis der Erweiterungssumme zum 5*5-Punkte Quadrat demnach 25*(24:25).

Insofern 25 die Mittelpunktszahl von 49 ist, ist das 7*7-Punkte Quadrat das ideale und vollkommene.

Die Zahlen 25 und 49 stehen in engem Zusammenhang mit dem Tetraktysstern, dessen Ausgangsfigur das Hexagon aus Mittelpunkt + 24 symmetrischen Elementen ist und das um weitere 24 symmetrische Elemente erweitert und mit einem zweiten konzentrischen Kreis abgeschlossen wird. Dessen Fläche hat zum Hexagonkreis das Verhältnis 3:1.

Die enge Beziehung von 5 und 7 zeigt sich in der Vereinigung der 3 Hexagonachsen aus 5 Elementen und der 3 Tetraktysseiten aus 7 Elementen:

Die Addition der Elemente des Hexagons und des ganzen Tetraktyssterns, 25+49 = 74 = 2*37, stellt die Zahl der Elemente von 2 Tetraktys dar.

4.       Tatsächlich bildet das SQ eine ideale Verbindung der Quadratzahlen 25 und 49, wenn man sich als Verbindung zwischen 25 Punkte (Buchstaben) des SQ 24 Linien vorstellt. Man kann dies auf einer einzelnen geraden Strecke, aber auch als ein Achsenkreuz darstellen. In letzterem Fall läßt sich zweimal dieselbe Formel eintragen – von außen nach innen:

SATOR OPERA NETDer Schöpfer webt seine Werke

Achsenkreuz der Satorformel

5.       Die 9 Zahlenreihen haben folgende Faktorensummen (FS):

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

sm

FS1

39

38

38

38

38

38

38

38

38

343

FS2

18

27

36

45

45

63

54

54

342

 

39

56

65

74

83

83

101

92

92

685

FS1 bedeutet die FS der Zahlen 1-9 für jede FS2, das Neunfache einer jeden Zahl. Der Faktor 1 ist nur bei 1*1 wirksam. Die Endsumme besteht demnach aus (1+9*38)+9*38.

685 = 5*137. Zur Primzahl 137 siehe eigenen Eintrag.

Die ZS+FS der 1x1-Tabelle beträgt somit 2025+685 = 2710. Die Primzahl 271 ist zu verstehen als Numerierungsumme der Zahlen 2-7 der hexagonalen Kreislinienpunkte und der Zahl 1 als Mittelpunkt. Die Einzelziffern lassen sich auf den Aufbau der Tetraktys beziehen: 2 Eckpunkte, 7 hexagonale Punkte und 1 als der Anfangspunkt der Tetraktys. Das Hexagon ist somit auf die Erweiterung auf den Tetraktysstern ausgerichtet. Darauf weisen auch die Konstitutivzahlen 136 und 135 mit ihren FW 23+14 = 37. Die Einzelziffern der FW bezeichnen die 5 DM-Elemente, aus 37 Elementen besteht eine Tetraktys. Die Addition 271+37 = 308 = 11*28 zeigt im Faktor 28 wiederum das Prinzip der Zahl 7.

c) Die Diagonale und die zwei Hälften

1.       Die 9 Quadratzahlen (QZ) – einschließlich 1*1=1 – ergeben die Summe 285 = 15*19:

QZ

2

5

2

 

SmQZ

1

4

9

16

25

36

49

64

81

285

 

5

135

145

 

FW

1

4

6

8

10

10

14

12

12

77

 

11

28

38

 

In konzentrischer Aufteilung ist das Summenverhältnis der 4 äußeren zu den 5 inneren Quadratzahlen 150:135 = 15*(10:9). Die Zahlen 10 und 9 weisen auf den Doppelaspekt von 9 DM- und 10 Radialelementen des Tetraktyssterns hin, die Zahl 15 ist in der Summe 45 der Zahlen 1-9 dreimal enthalten. In der Summierung ungerader (1+9+25+49+81) zu geraden Positionen (4+16+36+64) ist das Verhältnis 165:120 = 15*(11:8). Die Verhältniszahlen 11 und 8 summieren die DM- und Radialelemente getrennt nach innerem Kreis und äußerem Kreisring:

Die Summe der Faktorenwerte (FW) 77 ist ebenfalls konzentrisch aufteilbar und weist das Verhältnis 49:28 = 7*(7:4) auf. In der Summierung ungerader zu geraden Positionen ist das Verhältnis 43:34.

Die Zahl 77 ist die Faktorensumme (FS) der Zahlen 1-13. Es ist hier an die 13 Punkte des Tetraktyssterns zu denken.

2.       Die Quadratzahlen der Diagonale gehören jeder Hälfte der 1x1-Tabelle an. Die Zahlensumme (ZS) einer Hälfte beträgt 870 = 30*29. Die Summe einer Hälfte SmQZ 870+285 = 1155 = 11*(3*5*7) zeigt die besondere Zusammengehörigkeit der Zahlen 3, 5 und 7 an: sie sind konstitutiv für die Konstruktion der Tetraktys.

d) Die Faktorenwerte der drei inneren Quadrate

1.       Die Zusammengehörigkeit der Zahlen 3, 5 und 7 erweist sich auch in der Ordnung der FW ihrer Quadrate, und zwar jeweils im Verhältnis der beiden Hälften (H) zur Diagonale (D).

Qu.

H

D

H

sm

Verh.

Diff.

3*3

28

28

28

84

1:1:1

84

5*5

96

48

96

240

2:1:2

156

7*7

192

64

192

448

3:1:3

208

 

 

 

 

772

 

 

Die drei Verhältnisse haben den Mittelwert des 5*5 Quadrats 2:1:2, ein Hinweis auf die Symmetriestruktur einer Quadratseite aus 5 Punkten.

Das Verhältnis 3:1:3 kann sich auf die Punkteaufteilung der Doppelraute (DR) beziehen. Eine DR besteht aus 21 = 3*7 Elementen.

2.       Zwischen den FS der drei Quadrate gibt es einige Zahlenverhältnisse:

     Eine Zahlenhälfte des 7*7 Quadrats verdoppelt die FS des 5*5 Quadrats von 96 auf 192.

     Das FS-Verhältnis des 3*3 zum 7*7 Quadrat beträgt 28*(3:16), bzw. 3:13, wenn man vom Differenzbetrag 448-84 = 364 ausgeht.

     Das FS-Verhältnis des 3*3 zum 5*5 Quadrat beträgt 12*(7:20), bzw. 7:13, wenn man vom Differenzbetrag 240-84 = 156 ausgeht.

     Das FS-Verhältnis des 5*5 zum 7*7 Quadrat beträgt 16*(15:28), bzw. 15:13, wenn man vom Differenzbetrag 448-240 = 208 ausgeht.

Das Verhältnis des Differenzbetrages zwischen den Quadraten 3*3 und 5*5 (156) sowie 5*5 und 7*7 (208) ist 4*13 = 52*(3:4) = 364. Die Zahl 364 ist zweimal die ZS von SATOR OPERA TENET, die ZS für OPERA ist 52.

3.       Die addierten ZS+FS der drei Quadrate ergeben:

Qu.

ZS

FS

sm

3*3

225

84

309

5*5

625

240

865

7*7

1225

448

1673

 

2075

772

2847

2847 = 3*13*73 = FW 89

Die Einzelziffern der Summe 2847 enthalten die 21 Elemente der Doppelraute in ihrer Unterschiedenheit: 2 Querlinien, 8 Rahmenlinien, 4 Flächen, 7 Punkte. In der Multiplikation 4*7 = 28 sind alle 4 Ziffern enthalten.

e) Die 4 Achsen

1.       Zu unterscheiden sind das horizontal-vertikale und das diagonale Achsenkreuz. Die Mittelpunktszahl 25 gilt einerseits einmalig für alle vier Achsen, andererseits auch für jede einzelne Achse bzw. jedes einzelne Achenkreuz.

2.       Zunächst soll das horizontal-vertikale Achsenkreuz untersucht werden. Beide Achsen bestehen aus denselben Zahlen. Die ZS beträgt 9*25 = 225 je Achse. Die FS setzt sich zusammen aus 38 für die Zahlen 2-9 (1 bei Multiplikation wird nicht gezählt) und 9*5 = 45, zusammen 83, Umkehrung von 38.

Die ZS+FS für die Leitachse (LAx) beträgt daher 225+83 = 308 = (4*7)*11. Für die Ergänzungsachse (EAx) ergibt sich 200+73 = 273 = 21*13. Die Gesamt- ZS+FS 581 = 7*83 = FW 90 ist wiederum durch 83 teilbar.

Diese Achsenwerte sind offensichtlich so bedeutsam, daß Vergil sie für die Gesamtzahl 830 (FW 90) seiner Verse der 10 Eklogen verwendete. Als Verszahlen der ersten und zweiten Ekloge wählte er die FS 83 und 73, zusammen 156. Die Faktoren 12*13 der Zahl 156 besitzen als 12+13 Bedeutung für die Zahl 25, also für das 5*5-Quadrat sowie den Durchschnittswert 25 je Zahl der 1x1-Tabelle.

Die ZS+FS 581 bestimmte Vergil für den bedeutungsschweren 4. Vers der 4. Ekloge:

ULTIMA CUMAEI VENIT IAM CARMINIS AETAS

Schon ist das letzte Zeitalter des Cumäischen Liedes gekommen.

Die ZW/FW-Verrechnung ergibt für die ZS+FS des Achsenkreuzes:

 

ZS

FS

sm

FW

sm

FW

 

425

156

581

90

 

 

FW

27

20

47

47

 

 

sm

765=45*17

628

137

765

28

FW

 

 

161

137

298

151

sm

 

 

 

 

 

179

Der Faktor 17 der Summe 765 steht in Übereinstimmung mit den 17 Zahlen des Achsenkreuzes, das letzte Ergebnis 179 setzt sich zusammen aus 9*17 = 153 + 9+17 = 26. (Siehe auch die Bedeutung der Zahl 153)

3.       Die ZS+FS der einen Diagonalachse mit den Quadratzahlen ist bereits bekannt: 285+77. Die Zahlen der zweiten Achse sind in jeder Hälfte gleich, da die Produkte lediglich Umkehrungen der 4 komplementären Zahlenpaare sind, z.B. 3*7 und 7*3. Die FS der beiden Hälften ist 33+33 = 66 und bildet mit der FS 77 der ersten Achse das Verhältnis 11*(6:7) = 143.

4.       Mit dem FW 10 der Mittelpunktszahl 25 ist die FS der beiden Achsenkreuze jeweils durch 13 teilbar: 156:143 = 13*(12:11) = 13*23. Bei einem einzigen Mittelpunkt beträgt die FS der 4*8 +1 = 33 Achsenzahlen 289 = 17*17. Diese Quadratzahl weist auf die jeweils 17 Punkte eines Achsenkreuzes AK5 hin.

Unter Einschluß der Zahl 25 liefert die ZW/FW-Verrechnung des diagonalen Achsenkreuzes folgendes Ergebnis:

 

ZS

FS

sm

FW

sm

 

425

143

568

77

 

FW

27

24

51

20

 

sm

 

 

619

97

 

FW

 

 

619

97

716

716 = 4*179

Die Endergebnisse der beiden Achsenkreuze bilden das Verhältnis 179*(1:4).

5.       Die ZS+FS der beiden Achsenkreuze ist 33*25 + 289 = 1114 = FW 559. Die Einzelziffern geben 2*5 Radialemente und 9 DM-Elemente wieder. Die Zahl 1114 läßt sich auf die 3 Linien und 4 Punkte einer Tetraktysseite beziehen. Aus 11+14 = 25 besteht die Summe eines Numerierungsmodus einer Tetraktysseite, wenn man für die Erweiterungselemente die Zahl 4 und 5 zuteilt:

f) 8 mal 6 Felder

1.       Die folgende Grafik zeigt 8 Felder mit je 6 Zahlen, die durch die beiden Achsenkreuze gebildet werden:

Die ZS der 4 äußeren und 4 inneren (blau und grün markierten) Felder betragen jeweils 600, die FS jeweils 198 = 11*18:

ZS

 

FS

65

165

335

335

 

42

57

72

72

35

35

65

165

 

27

27

42

57

100

600

500

 

69

198

129

Die FS sind jedoch auch in der diagonalen Aufteilung gleich. Die Felder haben paarweise gleiche Summen:

42

57

72

72

27

27

42

57

2*99

2*99

2.       Zwei rote Zahlen trennen zweimal zwei weitere. Jeweils drei Zahlen, z.B. 2,3,4 und 6,7,8 ergeben mit drei Zahlen eines komplementären Feldes die FS 15, die drei anderen Zahlen 18, sodaß ein durchgängiges Verhältnis 3*(5:6) zu erkennen ist:

ZW

FW

sm

ZW

FW

sm

ZW

FW

sm

4

54

4

11

15

2

63

2

13

15

3

72

3

12

15

6

56

5

13

18

8

42

6

12

18

12

48

7

11

18

6

36

5

10

15

7

18

7

8

15

8

27

6

9

15

14

24

9

9

18

12

28

7

11

18

18

32

8

10

18

3.       Die Zahlen 15 und 18 dürften sich vornehmlich auf das Hexagon mit seinen drei Achsen und den Doppelaspekt von 5 DM- und 6 Radialelementen beziehen:

4.       Die den dreifachen FS entsprechenden ZS der diagonalen Zahlenfelder (links unten nach rechts oben, rechts oben nach links unten) sind:

 

FS

Sm

ZS

Sm

 

15

18

 

15

18

 

li.u.

45

54

99

198

172

370

re.o.

45

54

99

102

128

230

 

90

108

198

300

300

600

Das Verhältnis der beiden diagonalen ZS ist 198:102 = 6*(33:17) und 172:128 = 4*(43:32). Die Zahl 33 verweist auf die 33 Elemente des Achsenkreuzes AK5, 33*17 = 561 ist die Summe der Zahlen 1-33. Die FW der Umkehrzahlen 12 und 21, die 33 ergeben, sind 7+10 = 17.

Die Einzelziffern der Verhältniszahlen 43 und 32 sind beziehbar auf die Punkte und Linien einer Tetraktysseite und der Kreisachse.

Die FS:ZS-Verhältnisse sind 90:300 = 30*(3:10) und 108:300 = 12*(9:25). Die Zahlen 3 und 10 verweisen auf die Punktzahlen des Tetraktyssterns, die Zahlen 9 und 25 auf das 5*5-Punkte Quadrat, da das interne Differenzverhältnis 9:16 beträgt, d.h., das 3*3-Punkte Quadrat wird um 16 Punkte erweitert.

 

Erstellt: November 2009

Letze Änderung: August 2010

 

 

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