Das SATOR-Quadrat und die Quadratform des Einmaleins

B. SATOR-Quadrat und einstelliges 5x5-Quadrat

Anmerkung: Die Zusammenschau der beiden Quadrate ist inzwischen (Mai 10) übersichtlicher und schlüssiger in meinem italienischen Beitrag La tavola pitagorica ed il quadrato del sator dargestellt. Dennoch sind Einzelaspekte von I.u.II. beachtenswert. Die Ergebnisse der Dreifachzählung (III.) stützen die Gesamtkonzeption des SATOR-Quadrats.

I. Ordnungen des 5x5 Quadrats

II. Beziehungnen zwischen 5x5Q, Doppelraute und SQ

III. Dreifachzählung beider Quadrate

A. Das Prinzip des Außen und Innen

I. Die Ordnung des 5x5 Quadrats

1.     Das innere 5*5 Punkte Quadrat der einstelligen Einmaleins-Tabelle sei mit 5x5Q abgekürzt:

Das Achsenkreuz läßt 4 Quadrate aus je 4 Zahlen entstehen. Je zwei diagonale Quadrate sind spiegelsymmetrisch identisch. Der weiteren Betrachtung sollen die unteren beiden Quadrate (linke Fig.) dienen:

2

6

0

4

8

9

2

5

8

1

Je zwei symmetrisch zur Mitte stehende Zahlen haben die komplementäre Summe 10, z.B. 9+1, 2+8. Die quadratische Gruppierung zu jeweils 4 Zahlen lenkt die Aufmerksamkeit eher auf jeweils zwei nebeneinander stehende Zahlen, z.B. 92, 81. Die vier zweistelligen Zahlen und ihre Umkehrungen ergeben folgende Faktorenwerte (FW):

 

 

 

sm

 

 

sm

GS

 

92

81

173

26

48

74

247

FW

27

12

39

15

11

26

65

 

293

93

212

41

59

100

312

 

29

18

47

62

84

146

193

FW

29

8

37

33

14

47

84

 

58

26

84

95

98

193

277

GS

177

119

296

136

157

293

589

Die Gesamt-FS ist 65+84 = 149. (Zur Zahl 149 siehe einige Bedeutungen)

Bemerkenswert ist das FS:ZS-Verhältnis der unteren Reihe 65:247 = 13*(5:19). Den 3 Ergebniswerten 13, 5, 19 entsprechen die Buchstaben NET– er webt des SQ. Es ist nicht auszuschließen, daß Catull deshalb in seinem c5c7 Quadrat die Primzahl 149 als Faktor der beiden Achsen gewählt hat.

2.     Etwas größere Aufmerksamkeit verdient das FS:ZS-Verhältnis der Einzelzahlen der beiden Quadrate, für sich selbst und im Hinblick auf das SQ:

 

 

 

 

 

sm

 

 

 

 

sm

GS

Z

9

2

2

6

19

8

1

4

8

21

40

FW

6

2

2

5

15

6

1

4

6

17

32

 

 

 

 

 

34

 

 

 

 

38

72

Das FS:ZS-Verhältnis beträgt 8*(4:5). Die Summe der Einzelziffern 8+9 = 17 läßt sich auf das Achsenkreuz eines 5*5-Punkte Quadrats beziehen. Die eine Achse besteht aus 4 Linien und 5 Punkten, die zweite aus 8 Ergänzungselementen (ohne Mittelpunkt):

Als Parallele sei hier angeführt, daß der Name MARIA dasselbe FS:ZS-Verhältnis 32:40 besitzt.

II. Beziehungnen zwischen 5x5Q, Doppelraute und SQ

a) 5x5Q und Doppelraute

b) Die Numerierung 1-18 der DR

c) Die vereinigten Zahlensummen des 5x5Q und des SQ

d) Die vereinigten Faktorensummen des 5x5Q und des SQ

e) Die ZS und FS der 4 Eckquadrate

f) Die Achsenkreuze

a) 5x5Q und Doppelraute

1.      Wenn man die 7 Punkte der Doppelraute (DR) in achtförmiger Umfahrung numeriert, zeigt sich in der Anordnung der Zahlen eine auffällige Parallelität zum 5*5Q:

Die Zahl 9 kreuzt den ersten Punkt und kommt neben der 1 zu stehen. In horizontaler Leseweise, von unten nach oben, sind 4 Zahlenpaare zu erkennen, die sich komplementär zu 10 ergänzen. Beginnt man mit der Zahl 9 und liest die unteren 4 Zahlen kreisförmig gegen den Uhrzeigersinn, ist die Reihenfolge dieselbe wie in der untersten Zeile des 5x5Q: 92-81.

Mit der zweiten Zeile des 5x5Q (von unten) stimmen die DR-Zahlen der zweiten und vierten Ebene zusammen, wieder kreisförmig gegen den Uhrzeigersinn gelesen: 26-48.

2.      Die Zahlen 3 und 7 auf der dritten Ebene stimmen mit den Grenzen des 5x5Q innerhalb der 1x1-Tabelle überein.

Wenn man die beiden Querlinien der DR faltet und die Punkte der äußeren beiden Dreiecke vereinigt, läßt sich zusammen mit einer weiteren DR ein Oktaeder zusammenfügen. Daher kann die 10. Position der DR neben der 5 mit einer 0 oder 10 besetzt werden. Die Zahlenfolge 5 0 spiegelt die 4 symmetrischen Zahlenpaare des Achsenkreuzes im 5x5Q wider. Die Addition der zusammengesetzten Zahlen 19+50 = 69 ergibt den ZW von SATOR, die Addition 19+5 die Buchstaben TE – dich und in der Umkehrung ET – und, was inhaltlich der Vereinigung der beiden DR-Enden entspricht.

b) Die Numerierung 1-18 der DR

1.      Einen Teil der Frage, welche Beziehung zwischen dem 5x5Q und dem SQ besteht, beantwortet eine Numerierung des DR-Rahmens, bei der auch die Linien berücksichtigt werden:

8 horizontale Zahlenpaare ergänzen sich zu 18. Vom obersten Zahlenpaar 9+18 befindet sich die Zahl 9 im 5x5Q und die Zahl 18 im SQ in der unteren linken Ecke. Dasselbe gilt für die untersten Zahlen 1 und 17 der DR. Sie befinden sich im 5x5Q und SQ in der oberen linken Ecke. Auf diese Weise wird die DR mit den beiden Quadraten verbunden.

2.      Hier ist auf Catulls c5c7-Quadrat zurückzugreifen, dessen Horizontalachse die ZS+FS 2718 hat. Damit erfaßt Catull die Numerierungssumme des obersten und untersten Punktes der DR. Er bezieht auch die berühmte Zahl 153 ein, indem er die 18. und 23. Position auf der Horizontalachse mit den Umkehr-ZS 315 und 351 besetzt:

326

300

331

361

286

324

217

302

267

280

325

300

308

315

351

349

333

358

359

203

293

266

281

336

348

3.      Der Mittelpunkt der numerierten DR wird von den Zahlen 13 und 5 besetzt. Erstere ist Mittelpunkt des SQ, letztere des 5x5Q.

c) Die vereinigten Zahlensummen des 5x5Q und des SQ

1.      Die beiden Quadrate haben folgende ZS+FS:

 

ZS

FS

sm

 

5*5Q

105

89

194

 

SQ

303

249

552

24*23

sm

408

338

746

2*373

408 = 24*17

338=2*13²

Der Primzahlfaktor 373 des Gesamtergebnisses gibt die Punkteverteilung des Tetraktyssterns wieder. Die Zahl 24 spielt in verschiedenen Zahlenverhältnissen eine bemerkenswerte Rolle. Der Tetraktysstern enthält 24 Linien. Eine wesentliche Bedeutung haben zwei geometrische Figuren des Hexagon, der DR und des Oktaeders aus 11 und 13 Elementen:

 

Der FW von 24 ist 9. Das ergibt das FW:ZW-Verhältnis 3*(3:8), mit dem die FS 338 in einem inneren Zusammenhang stehen könnte.

Die beiden Primzahlfaktoren des Gesamtergebnisses eignen sich nicht für addierte ZS+FS-Verhältnisse. ZS und FS sind daher gesondert zu untersuchen.

2.      Die 1x1-Tabelle ist geprägt durch konzentrische Quadratrahmen (QR). Daher ist zu erwarten, daß sie Auskunft geben über die innere Zusammengehörigkeit des 5x5Q und des SQ:

Die ZS der beiden äußeren QR ist 80+206 = 286, die der inneren 20+84 = 104. Das ZS-Verhältnis der äußeren zu den inneren QR beträgt 26*(11:4).

Die ZS der beiden geraden Zeilen 2*(20+52) = 144. Das ZS-Verhältnis der 3 ungeraden zu den 2 geraden Zeilen ist 24*(11:6). Das Verhältnis 11:6 bedeutet eine Erweiterung der Raute zu einer fischförmigen Figur aus 17 Elementen:

d) Die vereinigten Faktorensummen des 5x5Q und des SQ

1.      Die FS der beiden Quadrate betragen 89+249 = 338 = 2*13*13. Ein durch 13 teilbares Verhältnis ist nicht zu erkennen. Die FS der inneren und äußeren QR sind 18+70 = 88 und 66+166 = 232, das Verhältnis 8*(11:29). Im Tetraktysstern bezeichnen die Numerierungssummen 11:29 das Flächenverhältnis 1:3 der beiden konzentrischen Kreise:

2.      Zwischen den vier Eckpunkten des äußeren Quadrats befinden sich 4*3 = 12 mittlere Punkte. Deren FS je Seite sind 13+29 = 42. Das FS-Verhältnis von 12:13 Punkten beträgt somit 168:170 = 2*(84:85).

3.      Die 4 Eckquadrate aus je 4 Punkten sind zu unterteilen in die 4 äußeren Eckpunkten, die 4*2 ihnen benachbarten Rand- oder Zuwachspunkte und die 4 inneren Eckpunkte:

Die 8 Randpunkte des 5x5Q und des SQ haben die FS 32:40 = 8*(4:5) = 72. Die FS der äußeren Eckpunkte sind 14+50 = 64. Das FS-Verhältnis aller Randpunkte zu allen Eckpunkten ist somit 8*(9:8) = 8*17 = 136. Die Zahl 136 ist die Summe der Zahlen von 1-16 und gibt die Verteilung der 10 Punkte der Tetraktys wieder.

Die FS der inneren Eckpunkte sind 18+50 = 68. Das FS-Verhältnis der äußeren zu den inneren Eckpunkten ist somit 4*(16:17) = 132. Das FS-Verhältnis der 4 inneren Eckpunkte zu den 4 äußeren Eckpunkten und den 8 Randpunkten, d.h. von 4*(1:3) Punkten, beträgt 68*(1:2).

e) Die ZS und FS der 4 Eckquadrate

1.      Jeweils zwei diagonale Eckquadrate des 5x5Q und des SQ sind gleich:

Die Werte beider Quadrate stimmen in der Addition der ZS+FS zusammen. Die Werte des unteren linken und unteren rechten Quadrats sind:

 

links

sm

rechts

sm

GS

 

ZS

FS

 

ZS

FS

 

 

5x5Q

19

27

46

21

17

38

84

SQ

37

15

52

60

43

103

155

 

56

42

98

81

60

141

239

14*(3:4)

3*(20:27)

 

Die Primzahl 239, aufgeteilt in (2+3):9, stellt die Durchmesser(DM-) Elemente der beiden konzentrischen Kreise des Tetraktyssterns dar und gibt deren Flächenverhältnis 1:3 wieder.

2.      Alle Nicht-Primzahlen sind gekennzeichnet durch eine Differenz (diff.) zwischen FW (aus Addition der Primzahlfaktoren) und Nennwert, hier der Einfachheit halber Zahlenwert (ZW) genannt. Die Ordnung unter Zahlen wird mitbestimmt durch Verhältnisse von Differenzsummen. Diese sind auch in den beiden untersuchten Quadraten wirksam. In der folgenden Tabelle werden nur die Nicht-Primzahlen aufgeführt:

 

5x5Q

sm

SQ

sm

GS

li. Qu.

9

6

 

18

 

 

 

 

diff.

3

1

4

10

 

 

10

14

re. Qu.

8

8

 

14

14

15

 

 

diff.

2

2

4

5

5

7

17

21

 

 

 

8

 

 

 

27

35

Das Differenzsummen-Verhältnis vom linken zum rechten unteren Quadrat ist 14:21 = 7*(2:3). Die Zahl 7 weist auf die Zahl der DR-Punkte hin, die Zahlen 2 und 3 auf die 5 Punkte des hexagonalen Doppeldreiecks:

Die Differenzsummen 8 und 27 im 5x5Q und im SQ sind die Kubikzahlen von 2 und 3, ihre FW 6+9 = 15 sind zu verstehen als 6 Linien und 9 Punkte der drei Hexagonachsen und in zusammengesetzter Form 69 als ZW von SATOR. Das (externe) Verhältnis dieser Faktorensumme zur Differenzsumme ist 15:35 = 5*(3:7), das interne Differenzsummenverhältnis 3:4, das wiederum auf die 7 Punkte der DR verweist.

Die Differenzsumme des 5x5Q ist in jedem Quadrat 4, im SQ einmal 10 und einmal 17. Die Zahlen 10 und 17 lassen sich auf eine numerierte DR beziehen, von deren 7 Punkten 2+1 Punkte doppelt besetzt werden. Die überzählige Numerierung ist (8+9)+10.

f) Die Achsenkreuze

1.      Das horizontal-vertikale Achsenkreuze beider Quadrate besteht – im Unterschied zu den eben behandelten 4 Quadraten – nur aus Primzahlen: Die ZS ist 25+109 = 134. Die Einzelziffern der Summe sind zu verstehen als (1+3)*4 im Hinblick auf die 4 Quadrate. Die Zahl 1 bezieht sich auf einen Eckpunkt des inneren Quadrats, die Zahl 3 auf die Winkelpunkte des äußeren Quadratrahmens.

2.      Der FW der Zahl 134 ist 69 und stellt so einen inneren Zusammenhang zwischen Quadrat und dem Schöpfergott SATOR her.

III. Dreifachzählung beider Quadrate

1.      Die Dreifachzählung des SQ wurde im vorhergehenden Kapitel durchgeführt. In zwei Zählungen werden unterschiedliche Formen der Symmetriemitte verdoppelt. Einmal ist die Symmetriemitte der Mittelpunkt, einmal die Mittelzeile. Die Punktezahl (P) bzw. Buchstabenzahl (Bu) ist jeweils 13+15 = 28. Die beiden Aussagen des SQ sind NET OPERA SATOR (NOS) und SATOR OPERA TENET (SOT):Die ZS+FS der ersten beiden Zählungen ergeben:

 

5x5Q

 

SQ

 

 

P/Bu

13

15

sm

NOS

SOT

sm

GS

ZS

55

60

115

158

182

340

455

FS

47

52

99

131

155

286

385

 

 

 

214

 

 

626

840

385:455 = 35*(11:13)

Die Differenzsumme muß, wie oben ausgeführt, bei zwei Zählungen 2*35 sein. Aber auch die ZS 455 ist durch 35 teilbar. Die Verhältniszahlen 11 und 13 verweisen auf Raute und Doppeldreieck, die Hauptbestandteile der Doppelraute und des Oktaeders. Das FS:ZS-Verhältnis 11:13 entspricht dem des PATER NOSTER: 121:143 = 11*(11:13).

Erwähnenswert ist auch das FS-Verhältnis 99:286 = 11*(9:26).

2.      Die dritte Zählung wurde bereits oben genannt. Sie ist den verdoppelten Werten der ersten beiden Zählungen hinzuzufügen:

 

5x5Q

SQ

 

Zählg.

1/2

3

sm

1/2

3

sm

GS

ZS

230

105

335

680

303

983

1318

FS

198

89

287

572

249

821

1008

 

 

 

622

 

 

1804

2426

Die Gesamtsumme 2426 = 2*1213 ist auf den Tetraktysstern und seinen beiden Kreisflächen zu beziehen: Das Hexagon besteht aus 12 Linien und 7 Punkten + 6 Dreiecken. Die Erweiterungselemente sind identisch, wenn dem äußeren Kreis ein eigener Mittelpunkt zugestanden wird. Die Zahl 2426 gibt somit das Flächenverhältnis 1:3 der beiden konzentrischen Kreise wieder:

Das Flächenverhältnis des inneren Kreises zum äußeren Kreisring ist 1:2.

Die Aufteilung in 2*1213 weist weiterhin sinnvoll auf die 12 geraden und 13 ungeraden Punkte beider Quadrate hin.

3.      Die Dreifachzählung erfaßt 2*(13+15)+25 = 56+25 = 81 Punkte. Der Zahl 56 entsprechen 16 Einzelquadrate + 40 Verbindungslinien des 5*5 Punkte-Quadrats.

-------------------

4.      Von Bedeutung erscheint die ZS 158 + 182 = 340 = 20*17 von NET OPERA SATOR + SATOR OPERA TENET. Denn ROTA als beherrschendes Wort der Kreisbewegung hat den ZW 51 = 3*17. Neben ROTA läßt sich SORT (68) als eine durch 17 teilbare Wortgruppe aus 4 Buchstaben herauslösen. Die beiden Wortgruppen sind jeweils zu verdoppeln wie auch die weitere aus 5 Buchstaben bestehende PEAEN, während ET nur einmal zu zählen ist.

 

R

O

T

A

S

O

P

E

R

A

T

E

N

E

T

 

ROTA

51

102

2x

PEAEN

39

78

2x

180

SORT

68

136

2x

ET

24

24

1x

160

 

119

238

 

 

63

102

 

340

238:102 = 34*(7:3); 180:160 = 20*(9:8)

Betrachtet man nur die Zählung der ersten drei Zeilen (SOT), ergibt sich das Verhältnis 119:63 = 7*(17:9) der zwei durch 17 teilbaren Wortgruppen zu den übrigen 7 Buchstaben (mit Durchschnittswert 9). Unterteilt in 2. und 3. Zeile ist das ZW-Verhältnis von PEA und ENET 21:41 = 21*(1:2).

Die Buchstabengruppe PEAEN läßt sich zu dem lateinischen Wort PAENE – fast umformen. Das ZS-Verhältnis zu den übrigen 10 Buchstaben beträgt 39:143 = 13*(3:11). Die ZS 143 entspricht der des PATER NOSTER. Aus den 10 Buchstaben läßt sich der Satz bilden SATOR ROTET – Der Schöpfer möge drehen. Eine Sinndeutung des PAENE in diesem Zusammenhang läßt sich nicht erkennen.

Die Buchstabengruppe SORT stellt den Wortstamm von SORS – Los, Schicksal dar. Die nicht existierende Form SORTATOR würde danach bedeuten, daß Gott das Schicksal aller Geschöpfe bestimmt.

 

Erstellt: November 2009, ergänzt August 2010

 

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