Primzahlverteilung

Die Zahlen 1-30 als Ausgangsmuster

Sonderstellung der Primzahlen 2 3 5

Die Primzahlen 2, 3, 5 in der Tetraktys

Einzelberechnungen

Die ersten 13 Primzahlen der Reihe nach im Hexagramm

Einschübe

Die Zahlen 1-47

Die Zahlen 31, 37 und 73

Die Zahlen 1-36

Die Primzahlen 2, 3, 5 in der Tetraktys

Reihe 1

1

7

Reihe 2

11

13

17

19

Reihe 3

23

29

1.      Obwohl die einstelligen Primzahlen 2, 3 und 5 nicht unter das Primzahlmuster der Zahlen 1-30 fallen, nehmen sie eine nicht unbedeutende Sonderstellung ein. Im Tetraktysstern geben sie zweimal 5 Radialelemente wieder:

In der Gleichungsform 2+3 = 5 bezeichnen zwei Teile das Ganze. Es ist nach 1+2 = 3 die zweite Gleichung dieser Art, wenn zwei angrenzende Zahlen addiert werden. Die erste Gleichung bezieht sich auf die Radialelemente des Kreises:

Um die Richtung der Zahlen beizubehalten, beginnt die Zählung hier von einem Kreislinienpunkt, nicht vom Mittelpunkt.

Wenn die Tetraktys mit ihren 10 Punkten eine so große Bedeutung hat, wie man ihr seit der Antike beimißt, dann liegt die Begründung des Dezimalsystems in den 10 Radialelementen des Tetraktyssterns, insofern dieser aus dem Kreis konstruiert ist. Man kann also die drei Primzahl 2, 3 und 5 ihrer Summe 10 gleichsetzen.

2.      Als dreistellige Zahl besteht 235 aus den Faktoren 5*47. 547 ist selbst eine Primzahl, ebenso 457. Die Einzelziffern sind zu verstehen als 5+4 Durchmesser-(DM) Elemente und 7 Elemente der Tetraktysseite (4 Punkte + 3 Linien). Wenn man für eine Tetraktysseite 4 Punkte zählt und sie ins Verhältnis zur Gesamtsumme der Elemente aller drei Seiten setzt, erhält man das Verhältnis 12:21 = 3*(4:7):

Die 5 einstelligen Primzahlen sind 1+(2+3+5)+7 = 18. Die Zahl 47 ist die 16. Primzahl ab der Zahl 1. Als 11. von 21 zweistelligen Primzahlen bildet sie die symmetrische Mitte.

Die Summe der ersten 15 Primzahlen ist 282 = 6*47. Es folgt 47 selbst. Damit ergibt sich das Verhältnis 47*(6:1). Die Bedeutung ist zweifach. 6*47, verstanden als 2*3*(4:7), bezieht sich auf die beiden Tetraktys des Sechsecksterns. 6+1 weist auf eine Doppelzählung der Elemente des Tetraktysrahmens hin: Zählt man nämlich 9 Punkte und 9 Linien des gesamten Rahmens, entfallen auf eine Tetraktysseite 6 Elemente, zählt man jede Seite gesondert, sind es 7 Elemente.

3.      Da die Primzahlen aus dem Primzahlmuster herausfallen, können sie frei verfügbare Funktionen übernehmen. Läßt man sie weg und fügt sie etwa nach 41 ein, ergeben sich für 10+6 Primzahlen die Summen 188:141 = 47*(4:3):

1

7

11

13

17

19

23

29

31

37

188

41

2

3

5

43

47

 

 

 

 

141

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

329

Diese Umgruppierung ist deshalb von Bedeutung, weil die Zahl 10 aus der Summe 1-4 und 6 aus der Summe 1-3 besteht.

Addiert man die 10 Primzahlen paarweise von außen nach innen, betragen die Summen 38+38+40+36+36. Das Verhältnis von 4:6 konzentrisch addierten Zahlen beträgt 76:112 = 4*(19:28), das von 6:4 116:72 = 4*(18:29). Dabei sind die Einerstellen jeweils vertauscht.

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Die Zahlen 1-47

4.      Die ZS und FS der Zahlen 1-47 sind 47*24 = 1128 und 669 = 3*223. Die Einzelziffern der dreimaligen Zahl 223 sind auf die drei Tetraktysseiten zu beziehen, die sich aus jeweils drei Elementen einer hexagonalen Segmentlinie nach beiden Seiten erweitern:

Man kann auch an 6 Außenpunkte, 6 Innenpunkte und 9 Linien denken:

Die Verrechnung der ZS und FS ergibt:

 

ZS

FS

sm

Fkt.

FW

sm

FW

 

1128

669

1797

3*599

602

 

 

FW

56

226

282

6*47

52

 

 

sm

 

9*11*21

2079

6*109

654

 

 

FW

 

 

27

 

114

141

3*47

Das Produkt 6*47 bezieht sich auf 2*3 Tetraktysseiten und das Verhältnis von 4 Teilelementen zu 7 Gesamtelementen, das Produkt 6*109 auf 6 denkbare Tetraktys mit jeweils 10 Punkten und 9 Dreiecken. Die Umkehrzahlen 1-14 und 14-1 bilden die gematrisch die Buchstaben AO und OA.

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5.      In einer numerierten Tetraktys besetzen die Zahlen 1, 7 und 10 die drei Ecken. Wenn nun die Primzahlen 2, 3 und 5 gegen ihre Summe 10 austauschbar sind, kann man sie in eine numerierte Tetraktys nach der Primzahl 1 und vor der 5. Primzahl 7 in eine Tetraktysecke schreiben. Die 7 Hexagonpunkte haben die Summe 37, die ebenfalls eine Primzahl ist. Aus 37 Elementen besteht auch die Tetraktys selbst:

Es mag ein tieferer Sinn darin sein, die drei Primzahlen nicht nur in ihrer Addition, sondern auch als dreistellige Zahl zur verrechnen. Dabei wird jede Seite gesondert gezählt, die Mittelpunktszahl kann mit einbezogen werden oder nicht:

 

 

 

 

 

sm

FW

sm

FW

sm

ZS

236

242

8

37

523

523

 

 

 

FW

63

24

6

37

130

20

 

 

 

sm

 

653

543

1196

40

 

FW

 

653

184

837

40

 

 

2033 = 19*107

 

 

2033

80

2113

Bemerkenswert ist, daß die ZS 523 eine Umkehrung von 235 darstellt. Am Ende des Rechenvorgangs steht die Primzahl 2113, deren Modell die Doppelraute (DR) ist: Sie besteht aus 21 Elementen, 13 davon gehören dem hexagonalen Kreis an. Die beiden Zahlen repräsentieren das Flächenverhältnis 3:1 der beiden konzentrischen Kreise des Tetraktyssterns.

6.      Zwischen den 5 einstelligen Primzahlen und der Primzahl 37 befinden sich 7 Primzahlen, die die hexagonalen Punkte ausfüllen können, es sind 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 mit der Summe 143, mit der die Summe 55 (18+37) das Verhältnis 11*(5:13) bildet. Da sich die Primzahlen 2, 3, 5 außerhalb des Primzahlmusters befinden, sind sie einzeln oder zusammen vielfältig einsetzbar. So kann man sie auch für eine zweite Tetraktys wiederholen und sie mit 37, wie oben geschehen, verbinden. Sie verläuft von unten nach oben:

Die 7 Primzahlen sind nach der 7 gegen den Uhrzeigersinn rundum angeordnet und enden mit 31 im Mittelpunkt.

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Die Zahlen 31, 37 und 73

Die Tetraktys vereinigt in sich drei Sichtweisen der Zahlen 3 und 7: 3+7 Punkte, 3*7 Elemente der Tetraktysseiten und 37 Elemente der ganzen Tetraktys. Die Addition von (3+7) + 3*7 = 10+21 ergibt 31. Fügt man zu 31+37 = 68 noch die Umkehrzahl 73, erhält man mit 141 = 3*47 wiederum einen Bezug zu den drei Tetraktysseiten.

Alle drei Zahlen sind beteiligt in der numerierten Tetraktys, wenn man die Zahlen jeder Seite getrennt addiert: 14+20 = 34+34 = 68+5 = 73:

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Die beiden Tetraktys könnten auch umgekehrt numeriert sein. Beide sind komplementär aufeinander bezogen: Die FS 18 der einstelligen Primzahlen, die der Summe 1+7+10 der Eckpunkte der Tetraktys entsprechen, sucht nach der Summe 37 für den hexagonalen Teil. Da durch mehrere folgende Primzahl nicht erreichbar ist, kommt nur 37 selbst in Frage. Die dazwischen liegenden 7 Primzahlen können dafür die hexagonalen Punkte besetzen.

Das Summenverhältnis der 5:7 Primzahlen beträgt 18*(1:10) = 11*18 = 198. Das Verhältnis 11:18 ergibt sich bei der Numerierung der Durchmesserelemente des Tetraktyssterns von 1-5, die Summe 11 für den hexagonalen Durchmesser, 18 für die Erweiterungselemente:

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Die Zahlen 1-36

Die Summen 18+37 der 3 Eckpunkte und der 7 Hexagonpunkte sind auch deshalb von Bedeutung, weil die Summe der Zahlen 1-36 aus dem Produkt 18*37 = 666 besteht. Der Zahl 36 entsprechen zwei Tetraktys mit jeweils 18 Rahmenelementen, die in 3*6 Elemente (666), aber auch 3*7 Elemente aufgeteilt werden können. Diese doppelte Aspekt spiegelt sich in der Teilbarkeit ersten 13 Primzahlen einschließlich 37 durch 18 wider.

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Einzelberechnungen

7.      Für die Zahlen der vorstehenden Figur sind zahlreiche Berechnungen möglich, die sinnvolle Ergebnisse liefern, deren Erklärung aber zu weit führen würde. Ich wähle vier aus:

      Die erste Berechnung geht von der Addition der drei Primzahlen 2, 3, 5 aus und läßt die Zahl 31 weg. Vier Zahlen je Tetraktysseite werden von links gegen den Uhrzeigersinn addiert:

 

 

 

 

 

sm

FW

sm

FW

sm

FW

 

 

ZS

47

69

32

 

148

41

 

 

 

 

 

 

FW

47

26

10

 

83

83

 

 

 

 

 

 

sm

 

 

 

 

231

124

355

76

 

 

 

 

FW

 

 

 

 

21

35

56

13

 

 

 

 

sm

 

 

 

 

 

 

411

89

500

19

 

 

FW

 

 

 

 

 

 

140

89

229

229

 

 

sm

 

 

 

 

 

 

 

 

729

248

 

 

FW

 

 

 

 

 

 

 

 

18

37

55

 

Das Ergebnis 231 ist die Summe der Zahlen 1-21 und trägt den 3*7 Elementen der Tetraktysseiten Rechnung. Nach einem langen Rechengang erhält man die Summen 18 und 37 der numerierten Tetraktys, die den Ausgangspunkt dieser Untersuchung bildeten.

            Die nächste Berechnung geht von der dreistelligen Zahl 235 für beide Tetraktys aus. Gezählt werden nicht die Summen jeder Seite, sondern der ganzen Tetraktys:

 

ZS

 

 

sm

FW

sm

FW

sm

1-31

243

112

31

386

195

 

 

 

37

243

 

37

280

18

 

 

 

sm

 

 

 

666

213

879

296

 

FW

 

 

 

45

74

119

24

 

sm

 

 

 

 

 

998

320

 

FW

 

 

 

 

 

501

17

518

Die Zahl 666 ist die Summe der Zahlen von 1-37. Die dreimalige 6 bezieht sich auf die 18 Elemente des Tetraktysrahmens, die sich auf 6 je Tetraktys aufteilen. Das Endergebnis 518 = 14*37 ist ebenfalls durch 37 teilbar. In der numerierten Tetraktys bildet 5 den Mittelpunkt und 18 die Summe der Eckpunktzahlen.

            Bei den nächsten beiden Berechnungen mit der 3-stelligen Zahl 235 werden die Zahlen der drei Tetraktysseiten und des Mittelpunktes gezählt:

 

 

 

 

 

sm

ZS

272

294

32

31

629

FW

25

19

10

31

85

sm

 

 

 

 

714

 

 

 

 

 

 

sm

ZS

276

272

50

37

635

FW

30

25

12

37

104

sm

 

 

 

 

739

Die Verrechnung der beiden Endsummen ergibt:

 

 

 

sm

FW

sm

Fkt.

FW

ZS

714

739

1453

1453

 

 

 

FW

29

739

768

19

 

 

 

sm

 

 

2221

1472

3693

3*1231

1234

FW

 

 

2221

35

2256

48*47

 

Die Einzelziffern der Primzahl 1453 sind auf 1+4 und 5+3 Radialelemente der beiden konzentrischen Kreise des Tetraktsssterns beziehbar.

Die FS 768 = 3*256 weist auf die drei sanduhrförmigen Doppeldreiecke des Hexagon hin, die aus 2 Dreiecken, 5 Punkten und 6 Linien bestehen:

Dasselbe gilt für die Tetraktys, in der auch die Raute mit 11 und die "fischförmige" Figur mit 17 Elementen vorhanden ist. Mit allen drei Zahlen ist in den Ergebnissen zu rechnen, da sie ja im Hexagon der Tetraktys eingetragen sind:

Die Summe 3693 hat den FW 1234, was der fortlaufenden Punktezahl der Tetraktys entspricht. Die Primzahl 1231 gibt in den Einzelziffern die Flächenverhältnisse der beiden konzentrischen Kreise des Tetraktyssterns wieder, ist aber auch auf die beiden Erweiterungslinien der Tetraktys anwendbar:

            Die ZS 629 und 635 werden mit ihren FW verrechnet:

 

 

 

sm

FW

sm

FW

sm

ZS

629

635

1264

87

16*79

 

 

FW

54

132

186

36

 

 

 

sm

 

 

1450

123

1573

35

 

FW

 

 

41

44

85

22

 

sm

 

 

 

 

1658

57

 

FW

 

 

 

 

831

22

853

Die Faktoren der Summe 1573 11*13*11 entsprechen einer Figurenkonstellation des Hexagon, die als Modell für die innertrinitarischen Beziehungen angesehen werden kann:

Die Faktoren 5*7 der Zahl 35 werden durch die Hinzufügung von 22 in der Zahl 57 sichtbar. Aus 5 und 7 Elementen bestehen der Durchmesser des Kreises und eine Tetraktysseite, 5 und 7 Punkte der Doppelraute geben das Flächenverhältnis 1:3 der beiden konzentrischen Kreise wieder.

Die Primzahl 853 bezeichnet in ihren Einzelziffern zweimal die Radialelemente des Tetraktyssterns, die ebenfalls das Flächenverhältnis 1:3 vertreten.

13 Primzahlen der Reihe nach im Tetraktysstern

1.      Begibt man sich zurück auf den Boden rationaler Numerierung der 10 Tetraktyspunkte mit Primzahlen, ergibt sich folgende Verteilung:

2.      Wie oben bereits ermittelt, beträgt die Summe der 13 Primzahlen 198 = 11*18. Die 7 Hexagonzahlen ergeben 101, die Zahlen der 6 Erweiterungspunkte (EW) 97. Ordnet man die Mittelpunktszahl 13 der äußeren Summe 97 zu, erhält man das Summenverhältnis 110:88 = 22*(5:4).

3.      Das Hexagramm enthält 2 Tetraktys und 3 Doppelrauten (DR). Ermittelt man die Numerierungssumme einer jeden Figur, werden die 6 Kreislinienpunkte von beiden Gruppen jeweils doppelt beansprucht, der Mittelpunkt ist 2+3-mal vertreten. Auf diese Weise sind 2*13+(2*7+1) = 26+15 oder 2*10 + 3*7 = 41 Punkte, also um 28 mehr als 13 zu zählen:

 

EW

6P

sm

MP

GS

Tet

97

176

273

26

299

DR

97

176

273

39

312

273 = 21*13

611

Die Zahlen von 6 Erweiterungspunkten und 2*6 Kreislinienpunkten ergeben Teilbarkeit durch 13. Das Summenverhältnis der zwei Tetraktys zu den drei Doppelrauten ist demnach 13*(23:24) = 13*47.

 

 

 

 

Erstellt: Oktober 2010

 

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