Umkehrungen dreistelliger Zahlen

I.     6 Umkehrungen

II.    Teilungen durch 11

III.   Die übrigen dreistelligen Zahlen

IV.   Umkehrungen von Produkten aus 12, 13, 14, 23

V.     Faktor 37

I. 6 Umkehrungen

1.     Von jeder dreistelligen Zahl aus drei verschiedenen Ziffern können 6 Umkehrungen (Uk) gebildet werden. Die Summe der Umkehrungen bestimmt sich nach der Quersumme (QS) der Ziffern:

Sm(Uk) = 2QS*3*37 = 2QS*111 oder QS*222

2.     Je zwei Umkehrungen gehören einer Hunderter-Einheit an. Die niedrigere Zahl sei mit 1, die höhere mit 2 bezeichnet. Die drei Hunderter-Einheiten seien eine aufsteigende Folge.

Die Sm(Uk) läßt sich in zwei Hälften aufteilen nach dem Umkehrungsmuster 121 + 212.

3.     Teilungsbeispiel seien die Umkehrungen der Zahl 123:

 

 

 

 

sm

 

 

 

sm

GS

1

123

 

312

435

 

213

 

213

648

2

 

231

 

231

132

 

321

453

684

sm

 

 

 

666

 

 

 

666

1332

Bei jeder folgende Umkehrung wird die vordere Ziffer nach hinten gestellt, sodaß jede der drei Ziffern vorne, in der Mitte und hinten einmal vertreten ist und so durch 111 = 3*37 teilbar ist. Diese Anordnung ist zweimal möglich.

Die horizontalen Summen sind mindestens durch drei teilbar. Bei der Ausgangszahl 123 ist der gemeinsame Teiler der beiden Teilsummen jeweils 3*QS = 36, die Zahl 37 wird aufgeteilt in ihre Konstitutiven 18+19:

648:684 = 36*(18:19)

4.     Von Interesse sind die Umkehrungen durch ihre Faktorenwerte (FW), wie exemplarisch an den Umkehrungen von 123 gezeigt werden soll:

 

 

 

 

sm

 

 

 

sm

GS

Z

123

231

312

666

132

213

321

666

1332

FW

44

21

22

87

18

74

110

202

289

sm

 

 

 

753

 

 

 

868

1621

289 = 17*17

Die Faktorensumme (FS) 87+202 = 289 = 17*17 kann aufgeteilt werden in 2*(8+9) = 2*17 = 34. Bezugspunkt sind zwei Oktaederhälften aus 8 Elementen für die gemeinsame Mittelbasis und 9 Elementen für den pyramidenförmigen Aufbau.

Die FS der ersten und der zweiten Hälfte der Umkehrzahlen in aufsteigender Ordnung bilden ein Zahlenverhältnis:

 

 

 

 

sm

FW

sm

 

 

 

sm

FW

sm

GS

Z

123

132

213

468

23

 

231

312

321

864

19

 

 

FW

44

18

74

136

23

 

21

22

110

153

23

 

 

sm

 

 

 

604

46

650

 

 

 

1017

42

1059

1709

136:153 = 17*(8:9); 604 = 4*151; 1017 = 9*113

Der Verhältnisausdruck 17*(8:9) zeigt die Zusammensetzung zweier Oktaederhälften, die Gesamtsumme 1709 die Elemente einer Oktaederhälfte und 9 Elemente für den Aufbau der zweiten Pyramide, also die 26 Elemente des Oktaeders.

Die ZS+FS der 6 Umkehrungen ist 1332+289 = 1621. Die Aufteilung der Primzahl 1621 in 16+21 gibt die Numerierungssumme 37 der Rahmenelemente einer Doppelraute des Tetraktyssterns wieder, wobei sich 21 auf den hexagonalen und 16 auf den Erweiterungsbereich bezieht:

Die Einzelziffern weisen auch auf die 1+6 Punkte des Hexagons und 2+1 Eckpunkte der Tetraktys hin.

5.     Dreistellige Basiszahlen mit drei verschiedenen Ziffern lassen sich in zwei Gruppen einteilen: Die erste reicht bis 5 und ermöglicht eine gleich Zahl von Komplementärzahlen:

123

124

125

134

135

145

234

235

245

 

 

 

345

 

 

 

 

 

987

986

985

976

975

965

876

875

865

 

 

 

765

 

 

 

 

 

Das Summenverhältnis der zweimal 10 Zahlen beträgt 1845:9255 = 15*(123:617) = 15*740 = 11100.

Die zweite Gruppe reicht über 5 hinaus:

126

127

128

129

236

237

238

239

346

347

348

349

456

457

458

459

136

137

138

139

246

247

248

249

356

357

358

359

 

467

468

469

146

147

148

149

256

257

258

259

 

367

368

369

 

 

478

479

156

157

158

159

 

267

268

269

 

 

378

379

 

 

 

489

 

167

168

169

 

 

278

279

 

 

 

389

 

 

 

 

 

 

178

179

 

 

 

289

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

189

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Die beiden Tabellen enthalten 20+64 = 84 Zahlen, die mit 6 zu 504 = 9*8*7 zu multiplizieren sind. Auf jede der 9 Hundertereinheiten entfallen somit 56 = 8*7 dreistellige Zahlen mit verschiedenen Ziffern.

Das Summenverhältnis der zwei linken zu den zwei rechten Reihen der zweiten Gruppe beträgt 7950:9750 = 150*(53:65) = 300*59 = 17700. Das Summenverhältnis der zwei rechten Reihen beträgt 5070:4680 = 390*(13:12).

II. Teilungen durch 11

1.      Liest man eine durch 11 teilbare 3-stellige Zahl von hinten nach vorne, ist diese Umkehrung ebenfalls durch 11 teilbar:

143

341

198

891

495

594

13*11

31*11

18*11

81*11

45*11

54*11

In den angeführten Beispielen wird auch die zweite Produktzahl umgekehrt. Dies ist aber nur bei der Hälfte der Zahlen der Fall. Bei der anderen Hälfte ist von der höheren zweistelligen Umkehrzahl 9 abzuziehen, z.B. 91-9 = 82:

209

902

319

913

638

836

19*11

82*11

29*11

83*11

58*11

76*11

Ausgangszahlen der zwei Reihen sind 121 und 209, die fortgesetzt werden durch 242, 363, 484 bzw. 308, 407, 506:

209

 

121

132

143

154

165

176

187

198

902

 

 

231

341

451

561

671

781

891

308

319

 

 

242

253

264

275

286

297

803

913

 

 

 

352

462

572

682

792

407

418

429

 

 

 

363

374

385

396

704

814

924

 

 

 

 

473

583

693

506

517

528

539

 

 

 

 

484

495

605

715

825

935

 

 

 

 

 

594

 

616

627

638

649

 

 

 

 

 

 

 

726

836

946

 

 

 

 

 

 

 

 

737

748

759

 

 

 

 

 

 

 

 

847

957

 

 

 

 

 

 

 

 

 

858

869

 

 

 

 

 

 

 

 

 

968

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

979

 

 

2.      Jede Reihe besteht aus 36 Zahlen. Das Summenverhältnis der rechten zur linken Reihe beträgt 14520:25080 = 12*110*(11:19) = 39600. Der Verhältniszahl 11 entspricht ein Basisachsenkreuz mit einem und zwei Mittelpunkten, die Verhältniszahl 19 stellt ein erweitertes Achsenkreuz dar:

Die zweimal 36 Zahlen bilden paarweise Komplementärsummen zu je 1100, z.B. 121+979, 132+968, 231+869, wie der folgenden Tabelle zu entnehmen ist:

 

 

121

132

143

154

165

176

187

198

209

 

 

231

242

253

264

275

286

297

308

319

 

 

341

352

363

374

385

396

407

418

429

 

 

451

462

473

484

495

506

517

528

539

 

 

561

572

583

594

605

616

627

638

649

 

 

671

682

693

704

715

726

737

748

759

 

 

781

792

803

814

825

836

847

858

869

 

 

891

902

913

924

935

946

957

968

979

 

 

III. Die übrigen dreistelligen Zahlen

1.      Von 100 bis 999 sind es 900 Zahlen. Zu Zahlen mit drei verschiedenen Ziffern gehören auch solche mit einer 0. Sie haben auf dreistelliger Ebene nur vier Umkehrungen. Wenn die Null am Anfang steht, werden auch zweistellige Zahlen erfaßt. Zur Ermittlung der Zahlen beginnt man mit 102 bis 109, dann 203 bis 209 bis 809. Auf diese Weise erhält man 36 Zahlen, mit 4 multipliziert, 144.

2.      Ist eine Ziffer zweimal in einer dreistelligen Zahl enthalten, gibt es nur drei Umkehrungen. Als Muster diene die Reihe 112-119. Jede Hundertereinheit enthält eine fortlaufende Reihe von 8 Zahlen, von denen zwei gleich sind. Zu jeder gibt es zwei Umkehrungen, z.B. 121 und 211. Auf diese Weise erhält man 3*9*8 = 216 Zahlen.

Kommt zu zwei gleichen Zahlen eine 0 hinzu, gibt es nur zwei Umkehrungen, z.B. 101, 110. Auf diese Weise erhält man 18 Zahlen.

3.      Zahlen mit drei gleichen Zahlen wie 111 sowie die vollen Hunderter sind nicht umkehrbar. Die Summe sind weitere 18 Zahlen.

4.      Die 900 Zahlen setzen sich nun folgendermaßen zusammen:

Umk.

einzeln

xUmk.

Beisp.

6

84

504

123

4

36

144

102

3

72

216

112

2

9

18

101

0

18

18

100, 111

 

219

900

 

 

Erstellt: Februar 2011

Ergänzt: Mai 2015

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