Umkehrungen
dreistelliger Zahlen
a) Modelle
a) Modelle
1.
Zu den 14 dreistelligen Primzahlen, deren Umkehrungen
ebenfalls Primzahlen sind und im vorherigen
Kapitel behandelt
wurden, sind auch 15 Palindromprimzahlen zu rechnen. Sie
verteilen sich folgendermaßen auf die vier Hunderterbereiche 1 3 7 9:
|
|
|
|
|
|
sm |
|
|
|
|
|
sm |
GS |
1 |
101 |
131 |
151 |
181 |
191 |
755 |
7 |
727 |
757 |
787 |
797 |
3068 |
|
3 |
313 |
353 |
373 |
383 |
|
1422 |
9 |
919 |
929 |
|
|
1848 |
|
|
|
|
|
|
|
2177 |
|
|
|
|
|
4916 |
7093 |
7093 = 41*173 = FW 214 = 2*107; 2177 = 7*311; 4916 = 4*1229 |
7093, aufgeteilt in 70+93 = 163, gibt in den Einzelziffern die Punkteaufteilung der Tetraktys wieder. In der Produktaufteilung 7*10 bezeichnet 70 die 7 Punkte des Hexagons und 10 Punkte der
Tetraktys. Dieselbe Bedeutung hat auch der Faktor 107, geteilt in 10+7.
Beide Zahlen enthält auch die Doppelraute mit 10 Linien
und 7 Punkten.
93 = 31*3 hat seine Entsprechung in der
spiegelbildlichen Punkteaufteilung 3-1-3 der Doppelraute (DR):
|
Der Faktor 173 der Summe
7093 weist vornehmlich auf die
"Fischfigur" hin, die sich in der Tetraktys dreimal befindet; sie besteht aus 17 Elementen. Der Faktor 41 ist
beziehbar auf 41 Elemente des DR-Kreuzes,
und auf 11+13+17 Elemente dreier geometrischer Figuren in Tetraktys und DR.
Die ZS 7093 + ihr FW 214 ergibt die Primzahl 7307. Sie ist zu verstehen als 7+3 Punkte der Tetraktys und 7 Punkte des Hexagons. Ihnen entspricht das Kreisflächenverhältnis 3:1 des
äußeren Kreises zum inneren Kreis.
Der ZS 7093 entspricht dieselbe FS 7093.
|
Anfang und Ende der ersten Hälfte des Kreisbogens wird durch die Zahlen
12 und der
zweiten durch 21
gekennzeichnet. In dreistelliger Zusammensetzung stellt sich der Kreisumlauf als
121 dar.
Palindromzahlen sind daher in genauerer Definition Spiegelbildzahlen, d.h. 131 z.B. ist
aufzuteilen in 13 und 31.
Spiegelbildcharakter hat insbesondere die Doppelraute (DR)
mit der Punktestruktur 3-1-3
(s.o.), in dreistelliger Zusammensetzung eine der 15
Palindromprimzahlen.
3. Will man die 15
Palindromprimzahlen in einer geometrischen Figur anordnen, hilft ihre Anzahl in
jeder der vier Hunderterbereiche:
1 |
5 |
101 |
131 |
151 |
181 |
191 |
3 |
4 |
313 |
353 |
373 |
383 |
|
7 |
4 |
727 |
757 |
787 |
797 |
|
9 |
2 |
919 |
929 |
|
|
|
Numeriert man
die 7 Punkte der Doppelraute (DR) in
achtförmiger Umfahrung bis zum Ausgangspunkt, erhält man 7+2
= 9 Positionen. 5 Zahlen befinden sich auf der ersten
Zickzacklinie, 4 auf der zweiten. Damit sind die zwei
Hunderterbereiche der ersten Tausenderhälfte abgeschlossen. Wiederum vom
Ausgangspunkt aus sind nun 4 Dreiecksflächen zu besetzen und in einer
zweiten Rückkehr die 2 Querlinien:
|
Die untere Raute enthält 8 Zahlen, die
obere 7. Die Summendifferenz zwischen 3552 und 3541 beträgt 11, das
entpricht den 11 Elementen
einer Raute bzw. den 7 Punkten und 4 Dreiecken der
DR.
4. Die obere Summe 3541 ist eine
Primzahl, die untere ist in das Produkt 32*111 = 32*(3*37) aufteilbar:
Von jeder dreistelligen Zahl, die aus drei unterschiedlichen Ziffern besteht,
gibt es 6 Umkehrungen,
deren Summe durch 111 teilbar ist.
Die Gesamtsumme ist dabei zweimal die Quersumme mal 111, in
vorliegendem Fall 2*16*111. Für die
Summe 3552 kommt demnach z.B. 259
= 7*37 in Frage,
weitere 7 Zahlen sind 178,
169, 268, 349, 358, 367, 457; die Summe dieser 7 Zahlen ist ebenfalls
durch 37 teilbar:
2146 = 58*37.
Zweimal vier
Zahlen der unteren Raute bilden ein Zahlenverhältnis:
373 |
131 |
504 |
101 |
383 |
484 |
151 |
929 |
1080 |
727 |
757 |
1484 |
|
|
1584 |
|
|
1968 |
1584:1968
= 48*(33:41) = 48*74 |
Den Einzelziffern von 33 und 41 entsprechen 6
Radial- und 5
Durchmesserelemente der Kreisachse.
Die Summe 3552 als Summe von
6 Umkehrungen ist somit sinnvoll, da
Palindromzahlen in sich Umkehrzahlen sind.
5. Eine Besonderheit der 15 Palindromzahlen
besteht darin, daß ohne 101 die Summe von je vier Zahlen der
ersten Tausenderhälfte in konzentrischer Zuordnung, wie die Gesamtsumme 7093,
jeweils durch 173 teilbar ist:
131 |
151 |
282 |
181 |
191 |
372 |
383 |
373 |
756 |
353 |
313 |
666 |
514 |
524 |
1038 |
534 |
504 |
1038 |
2076
= 12*173 |
Die Summe von 8:7 Zahlen hat
nun das Verhältnis 173*(12:29). Die Primzahl
1229 ist bereits als Faktor der Summe der zweiten
Tausenderhälfte in Erscheinung getreten. Die beiden Verhältniszahlen
entsprechen 12+29 = 41 Elementen des
DR-Kreuzes: Aus 15+14 Elementen
besteht der Rahmen, aus zweimal 6 die
Binnenelemente:
|
Die restlichen
7 Palindromzahlen lassen sich nicht in ein DR-Kreuz anordnen.
Deswegen sollen alle 15 Zahlen in
Zickzackfolge auf die Doppelraute (DR)
eingetragen werden:
|
Wenn sich die äußeren Punkte vereinigen, um mit einer anderen DR einen Oktaeder zu bilden,
wird klar, warum die Palindromzahl 101 sich von den
übrigen acht Zahlen der ersten Tausenderhälfte unterscheidet: Sie soll sich im
Sinne ihrer Kreisform mit der letzten zu einem Kreis zusammenschließen.
4 blauen Zahlen bilden die
gemeinsame Mittelbasis des Oktaeders, 6 Zahlen des Erweiterungsbereichs den oberen
pyramidalen Aufbau und 5 Zahlen des hexagonalen Bereichs den unteren.
Deren Summen sind:
oben |
Mitte |
unten |
|
3028 |
1916 |
2149 |
7093 |
3028
= 4*757; 2149 = 7*307 |
|||
1916
= 4*479 |
Die beiden
Oktaederhälften bedürfen jeweils der Summe ihrer gemeinsamen Mittelbasis:
3028 |
1916 |
4944 |
2149 |
1916 |
4095 |
Die Summe
führt wiederum zu zwei Palindromzahlen:
|
|
|
sm |
FW |
sm |
FW |
ZS |
4944 |
4095 |
9009 |
|
|
|
FW |
114 |
279 |
393 |
|
|
|
9009 = 9*7*11*13 >FW 37 |
6. Die oben im DR-Kreuz angeordneten
acht durch 173 teilbaren Zahlen lassen sich folgendermaßen
ergänzen:
|
Diese
Anordnung setzt bereits die Kenntnis des Verhältnisses 173*(12:29) voraus. Die 8 Flächenzahlen
vertreten 12 Binnenelemente, 7 Punktezahlen 29
Rahmenelemente der DR.
Die drei für
die Oktaederbildung relevanten Summen sind:
oben |
Mitte |
unten |
|
2048 |
3200 |
1845 |
7093 |
2048
= 211;
1845 = 45*41 |
|||
2048:3200
= 128*(16:25) = 128*41 |
41 ist Faktor
der Gesamtsumme 7093 =
41*173.
Die
Verrechnung der drei Summen ergibt:
|
|
|
|
sm |
FW |
sm |
ZS |
2048 |
3200 |
1845 |
7093 |
214 |
|
FW |
22 |
24 |
52 |
98 |
16 |
|
sm |
7191 = 9*17*47 |
7191 |
230 |
|
||
FW |
|
|
|
70 |
30 |
100 |
70:30 = 10*(7:3) |
Das Verhältnis
10*(7:3) ist ein Hinweis auf das Dezimalsystem in
Gestalt von je 10 Punkten
zweier Tetraktys.
Die
Verrechnung der zwei Hälften ergibt:
|
|
|
sm |
FW |
sm |
ZS |
5248 |
5045 |
10293 |
123 |
|
FW |
55 |
1014 |
1069 |
1069 |
|
sm |
|
|
11362 |
1192 |
|
FW |
|
|
57 |
155 |
212 |
10293 = 3*47*73; 212 =
4*53 |
|||||
11362 = 2*13*19*23;
1192=16*149 |
Die Faktoren 3*47 sind auf die 3*7 Elemente der
drei Tetraktysseiten zu beziehen: 4 Punkte
verhalten sich zum Ganzen von 4 Punkten + 3 Linien wie 4:7.
|
Der Faktor 73 kennzeichnet
die Tetraktys mit 7 hexagonalen
und 3 Erweiterungspunkten. Der FW
123 = 3*41 bezieht sich auf dreimal drei ineinanderliegenden geometrischen
Figuren von 11+13+17 Elementen in
der Tetraktys:
|
Die Faktoren 4*53 lassen sich
die Radialelemente von zwei Zickzacklinien der Doppelraute beziehen. 5:3
Radialelemente geben das Kreisflächenverhältnis 3:1 wieder:
|
Die
Einzelziffern der Zahl 212 geben die 5 Punkte der
Zickzacklinien an.
1.
Die
Grundzahlen 1-9 verhalten sich symmetrisch komplementär
zueinander; sie ergänzen sich jeweils zur Summe 10. Zu
jeder Zahl – ohne Null – gibt es eine Komplementärzahl, für 123 z.B. ist sie 987. Im dreistelligen Bereich ist die Summe
beider Zahlen jeweils 1110
= 30*37; aus den Einzelziffern
erkennt man den Bezug zum Hexagramm, das aus 13 Punkten
besteht.
Die 15 Prim-
und Palindromzahlen weisen 5 komplementäre Paare auf:
181 |
191 |
313 |
353 |
383 |
1421 |
929 |
919 |
797 |
757 |
727 |
4129 |
1421 = 7*203 = 7*7*29
>FW 43 |
5550 |
Die Summe 4129 ist eine Primzahl, die zwei Zählungen eines DR-Kreuzes enthält, die erste umfaßt alle 41 Elemente, die zweite 29 Rahmenelemente. Der FW
43 weist ebenso auf die Elemente
eines DR-Kreuzes mit drei Mittelpunkten hin. Aus 7*7
= 49 Elementen besteht das
Hexagramm.
Die Quadratzahl 7*7 ist jedoch auch auf zweimal 7 Punkte beziehbar: Die 7+6 Punkte des
Hexagramms werden um einen Punkt vermehrt, wenn der Mittelpunkt ein zweites Mal
verwendet wird, um einen Kreis um die äußeren 6 Punkte
zu ziehen. Dann nämlich wird erkennbar, daß der innere zum äußeren Kreis sich
wie 1:3 verhält, ein Hinweis auf das trinitarische Geheimnis von dem einen Gott
in drei Personen. Eine häufig wiederkehrende Symbolzahl für diesen Zusammenhang
ist die Primzahl 167, die nach drei Schritten der ZW/FW-Verrechnung in Erscheinung tritt und hier dokumentiert
werden soll:
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|
|
sm |
FW |
sm |
FW |
ZS |
1421 |
4129 |
5550 |
52 |
|
|
FW |
43 |
4129 |
4172 |
160 |
|
|
sm |
|
|
9722 |
212 |
9934 |
4969 |
FW |
|
|
4863 |
57 |
4920 |
55 |
sm |
|
|
|
|
|
5024 |
FW |
5024 = 32*157 |
167 |
2.
Die
verbleibenden 5 Palindromzahlen sind 101, 131,
151, 373,
787, in Summe die Primzahl 1543. Vier gehören der ersten, eine der zweiten
Tausenderhälfte an. Die Summe der ersten vier Zahlen ist 756 = 27*28 = 4*189 = 4*7*27. Das Produkt 27*28 ist
von besonderer Bedeutung für den Tetraktysstern: 28 ist die
Summe der Zahlen 1-7, der 7
Hexagonalpunkte, 27 ihre Faktorensumme (FS). In
innerer Übereinstimmung mit dieser FS wird das Hexagon um 8+9+10 = 27 zu den 10 Punkten
der Tetraktys erweitert. Die Zahl 189 setzt sich
zusammen aus 3*6 und 3+6. Zu 7*27 verweise
ich auf einen Beitrag über SPQR.
Die vier Zahlen bilden
durch 101+151 =
252 und 131+373 = 504 das Verhältnis 252*(1:2).
Die 4:5 Palindromzahlen
der ersten Tausenderhälfte haben das Verhältnis 756:1421 = 7*(108:203). Auffällig ist Teilbarkeit von 5
Palindromzahlen durch 131, wozu noch 131 selbst
kommt:
181 |
353 |
383 |
917 |
131 |
151 |
373 |
655 |
917:655 = 131*(7:5) |
Als geometrischer Ort für die Einzelziffern
ist die DR denkbar:
|
Die drei Zahlen
bezeichnen spiegelbildlich die Erweiterung des Hexagramms aus dem Hexagon. Die Erweiterung
besteht aus je 4 Elementen, das dazugehörige hexagonale
Dreieck aus 7 Elementen. Einen Hinweis darauf gibt die
Addition 131+151 = 282 = 6*47.
3.
Die Summen
der 5 Komplementärpaare und der übrigen 5 Palindromzahlen ergeben in der ZW/FW-Verrechnung:
|
|
|
sm |
FW |
ZS |
5550 |
1543 |
7093 |
214 |
FW |
52 |
1543 |
1595 |
45 |
sm |
|
|
|
259 |
1595 = 5*11*29; |
||||
259 = 7*37 >FW 44 |
Die Faktoren 11 und 29 bilden die Numerierungssummen der
Durchmesserelemente des hexagonalen Bereichs und der gesamten Zickzacklinie:
|
Das Verhältnis 11:29 gibt das Kreisflächenverhältnis 1:3 wieder. Dasselbe geschieht durch die Faktoren
7*37, denen 7
hexagonale Punkte und 3+7 Punkte der Tetraktys entsprechen. Der FW 44 = 4*11 verweist auf die vier Rauten des Oktaeders.
4.
Die
Primzahl 1543 als
Summe der 5 alleinstehenden Palindromzahlen zeigt in
folgender Weise Eigenschaften des Oktaeders:
|
15 ist in 5*3 = 5+3 = 8 aufzulösen, 43 in 4+3. Von der unteren Kante bis zur oberen sind es 5 Elemente, es bleiben 3 weitere Elemente eines Umlaufs von 8 Elementen übrig. In vertikaler Sicht gibt es 4 Umläufe von 8 Elementen, in horizontaler Sicht 3. In letzterer fehlen noch die untere und
obere Kante, was zu 8*(4+3)+2
= 58 führt. 58 ist auch die Summe der Addition 15+43. Zur trinitarischen Bedeutung der Zahl 58 verweise ich
auf einen anderen Eintrag.
5. Von der Zahl 101 läßt sich keine komplementäre Zahl bilden.
Die Addition der Zahl 101 zu jedem der 5
komplementären Paare führt jedoch zu Teilbarkeit durch 173: 1110+101 = 1211 = 7*173. Es ergibt sich so das
Verhältnis 173*(7:34).
Die 15
Palindromzahlen halten eine weitere Überraschung bereit. Man kann unter
Weglassung der Zahl 101 von den restlichen 4 Zahlen ebenfalls Komplementärzahlen bilden.
Die ZS+FS der 5 Komplementärpaare
beträgt 5550+5550 = 11100, es kommt hinzu die ZS 4440 der 4 Komplementärpaare + 101 sowie die FS 1543
der restlichen 5 Palindromzahlen, zusammen 5550+4440+101 = 10091; 5550+1543 = 7093; 10091+7093 = 17148 = 48*358 = 96*179. Die Zahl 179 ist die
Summe aus 9*17+(9+17) und auf die 26
Oktaederelemente beziehbar. Eine Oktaederhälfte besteht aus 8+9 = 17 Elementen, es bleiben 9 übrig. 96 ist zu verstehen als 4*(11+13) und auf die Zusammensetzung des Oktaederelemente
bezogen.
Die – bisher noch nicht berücksichtigten – FW der 4
Komplementärzahlen sind:
|
131 |
151 |
373 |
787 |
|
Zahl |
979 |
959 |
737 |
323 |
2998 |
FW |
100 |
144 |
78 |
36 |
358 |
979:737 =
11*(89:67) = 11*156 = 11*12*13 |
|||||
100+78 = 178;
144:36 = 36*(4:1) = 180 |
Zu 48*358 kommt also noch einmal 358 hinzu: 49*179.
Die 49 Elemente des Tetraktyssterns sind in den
ungeraden Mittelpunkt + 48 symmetrische
Elemente aufteilbar. Die Summen 178+180 sind
konstitutiv für ihre Summe 358. Die Gesamt-ZS 10091 und
die FS 7093+358 = 7451 sind Primzahlen.
6. Die Summe der 143 Primzahlen von 100 bis 1000
beträgt 75067 = 271*277 = FW 548 = 4*137. Ungewöhnlich sind die
aufeinanderfolgenden zwei Primzahlen. In der Aufteilung 27+1 bedeutet 271
die Summe der Zahlen von 1-7
für den Mittelpunkt des Hexagons und 6 Kreislinienpunkte:
|
Die Einzelziffern
deuten bereits auf die Erweiterung des Hexagons zum Tetraktysstern hin, der
zwei Tetraktys mit jeweils 2+1
Eckpunkte enthält.
Die Zahl 277 ist
relevant in der Aufteilung 27+7 = 13+7+7+7: 13 Punkte des Hexagramms bedeuten 1+2 Kreisflächeneinheiten des äußeren Kreises, 7+(6+1) Punkte 1+(1+2) Flächeneinheiten, zusammen 3+4 = 7:
|
Der äußere Kreisbogen
erfordert eine nochmalige
Verwendung des
Mittelpunktes.
Die Einzelziffern des FW 548 sind als 17
Elemente des Achsenkreuzes AK3
interpretierbar:
|
Die Faktoren 4*137
lassen sich auf 2 Zickzacklinien der DR beziehen:
Die Zahl 137 ist hier
zu verstehen als 13 Radialemente, die 7 Kreisflächenelemente wiedergeben:
|
Rechnet man die
Radialelemente nur einmal je Durchmesserlinie, läßt sich der Faktor 4 – als Parallele zum Achsenkreuz – ein DR-Kreuz beziehen.
7. Von den 143 Primzahlen lassen sich 14 Paare von Primzahlen, deren Umkehrung ebenfalls
eine Primzahl ist, und die 15
Palindromzahlen abziehen: 16370+7093 = 23463 = 27*11*79 = FW 99; 75067-23463 = 51604 = 4*7*19*97 = FW 127. Die Umkehrfaktoren 79 und 97
sind trinitarische Komplementärzahlen zu 31 und 13.
Die Summe 99+127 =
226 ist als 22+26 zu verstehen und auf zwei
geometrische Figuren zu beziehen, die die Oberfläche des Oktaeders bilden:
|
Erstellt: Juni
2015, Oktober 2016