Verzeichnis aller Beiträge

SATOR-QUADRAT für Schnupperer und Interessierte

I. Einleitung

II. Kreis und Tetraktysstern

III. Die Faktorenwerte

IV. Analogien

V. 1x1 Modell

VI. Ausblick

I. Einleitung

·      1+1 = 2; 1x1 = 1; 1-1 = 0; 4/2 = 2. Wer diese Rechnungen versteht, sei ermutigt, noch mehr zu verstehen: 5x5 = 25.

·      Das SATOR-Quadrat ist eine mathematische Konstruktion aus 25 Zahlen, die hier noch ungeordnet herumstehen:

·      Die 25 Zahlen werden einer ersten Ordnung unterzogen:

Die 25 Zahlen bestehen aus 8 verschiedenen Zahlen: (1+5) + (13+14+15) + (17+18+19) = 102. Diese 8 Zahlen sind einteilbar in eine Zweiergruppe und zwei Dreiergruppen. Das Verhältnis der ersten zwei Gruppen zur dritten ist 48:54 = 6*(8:9) = 6*17.

·      Die 25 Zahlen sind in ein Quadrat zu setzen. Es hat einen Mittelpunkt und zwei konzentrische Rahmen:

Es ist zu erkennen, dass jede folgende Quadratseite die vorhergehenden Zahlen spiegelbildlich wiederholt. Eine innere Seite besteht aus 3, eine äußere Seite aus 5 Zahlen Auf diese Weise entsteht eine unaufhörliche Kreisbewegung. Mit den 5+3 Zahlen stimmen die 8 verschiedenen Zahlen überein.

II. Kreis und  Tetraktysstern

1.       Die kleinsten Umkehrzahlen sind 12 und 21. Sie können als zwei Kreisbogenhälften dargestellt werden:

2.       Ein Kreis kann zu einem Hexagon differenziert und durch Verlängerung der Segmentlinien zu einem Hexagramm bzw. Tetraktysstern erweitert werden:

Wenn um die 6 äußeren Schnittpunkte ein Kreisbogen gezogen wird, beträgt das Flächenverhältnis des inneren zum äußeren Kreis 1:3.

Die einander gegenüberstehenden und ineinandergefügten Dreiecke nennt man Tetraktys nach dem griechische Wort TETRAvier. Es handelt sich um ein sogenanntes Zahlendreieck aus 4 Punkten je Seite. Die Addition von 1+2+3+4 = 10 ist konstitutiv für das Dezimalsystem. Die Bedeutung der Tetraktys erkannt zu haben, wird dem Mathematiker und Philosophen Pythagoras zugeschrieben.

3.       Eine geometrische Figur kann nach ihren Bestandteilen, hier als Elemente bezeichnet, gezählt werden. Es kommen in Frage Mittelpunkt, symmetrische Punkte, Linien und Flächen. Eine Tetraktysseite besteht demnach aus 2 Punkten + 1 Linie einer hexagonalen Segmentlinie und, nach beiden Seiten hin, aus je einer weiteren Linie und einem Punkt, zusammen aus 7 Elementen. Eine Tetraktysseite hat auf diese Weise das Muster 2-3-2.

Man unterscheidet also zwischen hexagonalen und Erweiterungselementen, die ins Verhältnis zu den Flächen der beiden konzentrischen Kreise gesetzt werden können. 3 hexagonale Elemente zu 4 Erweiterungselementen geben das Kreisflächenverhältnis 1:2 und zu allen 7 Elementen das Verhältnis 1:3 wieder.

4.       Die beiden konzentrischen Kreise des Tetraktyssterns zeigen das Prinzip des Teils zum Ganzen. Dies gilt ebenso für lineare Zahlenabläufe. Die Zahl 12 ist also eingebettet in ihrer Umkehrzahl 21. Um das Verhältnis beider Zahlen auszudrücken und dabei den gemeinsamen Teiler sichtbar zu machen, wird folgende unkonventionelle Form verwendet: 3*(4:7). Die Differenz zwischen 12 und 21 ist 9. Das entsprechende Verhältnis ist 3*(4:3). Dieses Verhältnis ist auf die drei Tetraktysseiten anwendbar:

Dieses Prinzip des Teils zum Ganzen liegt auch dem äußeren Rahmen des SATOR-Quadrats zugrunde. Hierzu sind einige neue geometrische Figuren einzuführen.

5.       Von den drei Ecken der Tetraktys lassen sich drei geometrische Figuren erkennen:

Die linke Figur zeigt drei hexagonale Doppeldreiecke aus je 13 Elementen. Jedem dieser Doppeldreiecke wird ein weiteres Dreieck hinzugefügt. Eine solche Figur hat die Gestalt eines Fisches. Es besteht aus 17 Elementen.

6.       Die hexagonale Erweiterung schafft nicht nur zwei Tetraktys, sondern auch drei Figuren aus je vier Dreiecken:

Diese Figur stellt zwei Rauten aus je 11 Elementen dar. Sie wird daher Doppelraute (DR) genannt. Aus zwei gekreuzten Doppelrauten läßt sich durch Zusammenführen der vier äußeren Punkte und Faltung der Querlinien ein Oktaeder zusammensetzen:

7.       Die erste und letzte Zeile ist aus den Elementen des zentralen Doppeldreiecks und zweier Rauten sowie von zwei Fischfiguren zusammengesetzt: 13+11+11 = 35, 17+17 = 34, zusammen 69 = 3*23. Die Summe 35 setzt sich aus den Eckzahlen 18+17 zusammen, die Summe 34 aus den drei mittleren Zahlen 1+19+14. Die Zahlen 34 und 35 sind angrenzende Zahlen so wie die 3 mittleren hexagonalen und 4 äußeren Erweiterungselementen der Tetraktysseite:

So wie die mittleren 3 Elemente bei 3 Tetraktysseiten die äußeren 4 Elemente bei 4*3 = 12 durch 3*3 = 9 zur Umkehrzahl 21 führen, so geht aus 34*4 136 + 35*4 = 140 die Endsumme 276 hervor.

Auch bei diesen beiden Summen 136 und 276 geht es um Umkehrzahlen. Diese müssen jedoch durch eine weitere numerische Ordnung sichtbar gemacht werden.

III. Die Faktorenwerte

1.       Die Zahlen und das Zahlensystem sind keine Erfindung des Menschen. Sie stellen eine Ordnung dar, die mit der Schöpfung selbst gegeben ist. Diese Ordnung gilt es aufzusuchen. So unterscheidet man zwischen ungeraden und geraden Zahlen, zwischen Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen. Eine Primzahl besteht nur aus einem einzigen Faktor, eine zusammengesetzte Zahl aus mehr als einem Faktor größer als 1. Unter diese Definition fällt auch die Zahl 1 selbst.

Die Zahlen existieren nicht unabhängig voneinander, sondern entwickeln und differenzieren sich von ihrem Ursprung her. Außer der Zahl 2 sind alle Primzahlen ungerade, und außer der Zahl 4 führt die Multiplikation von Faktoren zu einem höheren Ergebnis als die Zahl selbst.

So wie fortlaufende Zahlen addiert werden können, ist dies auch mit ihren Faktoren möglich. Die erste zusammengesetzte Zahl ist 6 = 2*3. Ihr Faktorenwert (FW) ist 2+3 = 5. Die Addition der Zahlen 1-6 ergibt 21, die der Faktoren 20, die Zahlensumme (ZS) + Faktorensumme (FS) beträgt demnach 41. Die ZS von 1-11 ist 66, ihre FS 57, das Additionsergebnis 123 = 3*41, die Differenz zwischen FS und ZS ist 9. Es ist vorteilhaft, Verhältnisse und Proportionen zwischen beiden Summen in der Reihenfolge FS:ZS vorzunehmen, hier also 3*(19:22).

2.       Unter dieser Ordnungssicht betragen die ZS der Zahlen 1-16 und 1-23 136 und 276, wie oben ermittelt. Ihre FS sind analog zu 12 und 12+9 = 21, die Umkehrungen 102 und 102+99 = 3*(34+33) = 3*67 = 201. 102 wurde bereits oben als Addition der 8 verschiedenen Zahlen des SATOR-Quadrats festgestellt, und die Umkehrzahl 201 ist die Summe der übrigen 17 Zahlen.

Das FS:ZS-Verhältnis der Zahlen 1-16 ist also 102:136 = 34*(3:4). In diesem Verhältnis erscheinen die Zahlen 3 und 4 zweimal. Die innere Logik besteht darin, dass die Summen zweier angrenzender Zahlen von 1 aus immer zum Quadrat der größeren Zahl führen, also 1-3 = 6, 1-4 = 10; 6+10 = 16 = .

Wie eng verflochten Zahlen sind, zeigt die Addition von 53+53 = 106. Zweimal 5+3 ergibt wiederum 16, und 106 wiederholt in dreistelliger Zusammensetzung die Summen der Zahlen 1-4 und 1-3. Das SQ trägt dieser Addition Rechnung durch die ZS 37+69 = 106 einer inneren und äußeren Quadratseite:

Den Zahlen 5+3 der äußeren und inneren Quadratseite entsprechen 5 Konsonanten und 3 Vokale des SQ.

IV. Analogien

1.       Die Gemeinsamkeit zwischen dem Tetraktysstern und dem SATOR-Quadrat besteht darin, dass ersterer von einem inneren und äußeren Kreis umschlossen ist und letzteres aus zwei konzentrischen Quadraten besteht. Die Konzentrik weitet sich um zwei Elemente je Kreis oder Quadrat aus. Das Muster ist jeweils 3+2 bzw. 2+3, da für den inneren Kreis und das innere Quadrat der Mittelpunkt mitzuzählen ist. Für das Quadrat ist die Rechnung einfach: Die Punktezahl je Quadratseite minus 1 liefert die Zahl der Einzelquadrate. Für die beiden konzentrischen Quadrate des SQ gilt, 3-1 = 2; 2² = 4; 5-1 = 4; 4² = 16. Das Flächenverhältnis der beiden konzentrischen Quadrate ist 1:4.

Für den Kreis gibt es nur die ganze Kreisfläche. 3:5 Radialelemente geben hier das Kreisflächenverhältnis 1:3 wieder:

Den 3+(3+2) Radialelementen entsprechen im SQ 3+(3+2) Punkte einer Quadratseite.

Auch der Oktaeder ist vom Muster 3+2/2+3 geprägt:

Es gibt mehrere Betrachtungsweisen:

·      Zwischen der obersten und untersten Spitze verlaufen 3 Elemente: 2 Kanten und 1 Ecke oder 2 Flächen und 1 Mittellinie.

·      3 Ecken werden durch 2 Kanten verbunden.

·      Von der unteren Ecke bis zur quadratischen Mittelbasis sind 3 Elemente, bis zur oberen Ecke 2.

2.       Oben wurde gezeigt, wie aus drei geometrischen Figuren der DR die ZS 69 für die erste und letzte Zeile des SQ entstand. Zwei DR sind jedoch im SQ selbst enthalten:

Die ZS jeder Raute setzt sich aus 2*32+5 = 69 zusammen. Vom Mittelpunkt aus können einer einzelnen Raute dreimal 3+2 Elemente zugeordnet werden:

Es ist erkennbar, mit welcher Selbstverständlicheit Einzelziffern in zweistelliger Zusammensetzung als innerlich zusammengehörig angesehen werden, oder als Addition (5) dargestellt werden. Eine SQ-Raute gibt also 69 Elemente einer DR des Tetraktyssterns wieder.

3.       Die Punkte der DR können schleifenförmig so numeriert werden, dass die Zahl 9 neben der Zahl 1 zu stehen kommt:

Da sich die äußeren Ecken zu einer Oktaederbildung zusammenschließen, stehen 19+5 nebeneinander. Sie bilden viermal die Buchstaben TE im TENET-Kreuz zur ZS 96 = 4*32.

V. 1x1 Modell

1.       Das Modell für das SQ ist eine 1x1-Tabelle unter Weglassung der Zehnerstellen. Die äußeren Zahlen 1,2 und 8,9 sind weggelassen:

x*y

3

4

5

6

7

7

21

18

35

42

49

6

18

24

30

36

42

5

15

20

25

30

35

4

12

16

20

24

28

3

9

12

15

28

21

Die Zehnerstellen werden angezeigt, wenn man den Koordinaten von 3-7 und 7-3 folgt, z.B. 6-4 = 24. Die ZS von oben und unten zur Mitte sind 25, 20, 15, also 5*(5:4:3:4:5) = 5*21 = 105.

2.       Übereinstimmungen der Zahlenabfolge bestehen zwischen der schleifenförmig numerierten DR und der 1x1-Tabelle:

3.       Die Differenz zwischen FS und ZS betragen im 1x1-Modell und im SQ 5+15 = 20 in der ersten Zeile und 3+12 = 15 in der zweiten Zeile, zusammen 35.

In welch engem Zusammenhang die Zahlen des 1x1-Modells und des SQ stehen, zeigen die 2 Eckzahlen und die 3 Binnenzahlen der äußeren Quadratseite:

 

Eckzahlen

Binnenzahlen

 

 

 

 

ZS

FS

sm

ZS

FS

sm

SM

SM

GS

SQ

35

25

60

34

29

63

69

54

123

1x1

10

7

17

15

13

28

25

20

45

 

45

32

77

49

42

91

94

74

168

77:91 = 7*(11:13)

91 ist die Summe der Zahlen von 1-13, 77 die entsprechende FS. 28 ist die Summe der Zahlen von 1-7 hexagonale Punkte, 63 die Summe der Zahlen von 8-13 der Erweiterung.

Ein ZS+FS-Verhältnis gibt es auch für die 3 Mittelzahlen und 2 äußeren Zahlen der zweiten Zeile:

 

3 Mittelzahlen

2 Außenzahlen

 

 

 

 

ZS

FS

sm

ZS

FS

sm

SM

SM

GS

SQ

37

30

67

15

10

25

52

40

92

1x1

10

9

19

10

8

20

20

17

37

 

47

39

86

25

42

43

72

57

129

86:43 = 43*(2:1)

4.       Die ZS der inneren und äußeren Quadratseite beider Quadrat hat das Verhältnis 47:94 = 47*(1:2) = 141. Die dazugehörige FS beträgt 74+39 = 113. Das Gesamt-ZS+FS ist demnach 141+113 = 254. Dieses dreistellige Ergebnis gibt in den Einzelziffern die 11 Elemente der Raute wieder: 2 Dreiecksflächen, 5 Linien, 4 Punkte:

4*254 = 1016 stellt daher ein DR-Kreuz dar, aus dem ein Oktaeder zusammengefügt werden kann.

 

5.       Die ZS+FS 1016 kommt auch im SQ selbst zustande, indem die ZS+FS der vier äußeren Quadratseiten und die ZS+FS der vier Rauten des Zentrums (s.o.) addiert werden. Parallel dazu werden die Werte der 1x1-Tabelle ermittelt. Die ZS+FS je einer Quadratseite und einer Raute sind:

 

Quadratseite

Raute

 

 

 

 

ZS

FS

sm

ZS

FS

sm

SM

SM

GS

SQ

69

54

123

69

62

131

138

116

254

1x1

25

20

45

20

19

39

45

39

84 

 

94

74

168

89

81

170

183

155

338

168:170 = 2*(84:85) = 2*13²; 8*13² = 1352

45 und 39 sind die ZS und FS der Zahlen 1-9.

Die Zahl 1016 ist von solcher Bedeutung, dass sie auch die ZS+FS der biblischen und historischen Kreuzesinschrift und der wunderbaren Grabinschrift der heiligen AGATHA von Catania ist.

VI. Ausblick

Das SATOR-Quadrat ist ein mathematisches Wunderwerk, ein kosmisches Räderwerk, zu dem viele verschiedene kategoriale Bereiche der Zahlen und der Geometrie beigetragen haben. Es ist Zeugnis eines vollkommenen Zusammenwirkens von göttlichem Schöpfer und menschlichem Geschöpf. Denn das präzise mathematische Räderwerk erhält erst sein Leben durch Buchstaben, Wörter und Bedeutung. Wer anders wohl lenkte die lateinische Sprache so, dass Zahlen und Buchstaben sich zu vollkommener Bedeutung zusammenfügten als der allweise Gott der Menschheitsgeschichte?

Die hier entwickelten Ausführungen bilden nur einen kleinen Teil von den vielen ineinander greifenden Rädern. Eine Inhaltsübersicht bietet weitere Bemühungen, die ich im Laufe der Jahre gemacht habe, um diesem einmaligen Wunderwerk gerecht zu werden.

 

 

SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS

 

Erstellt: März 2022