Das SATOR-Quadrat und die Quadratform des
Einmaleins
III.
Die Struktur des Einmaleins-Quadrats
(Fortsetzung)
b) Die Werte der konzentrischen Quadrate
c) Die Diagonale und die zwei Hälften
d) Die Faktorenwerte der drei inneren Quadrate
e) Die 4 Achsen
b) Die Werte der konzentrischen Quadrate
1.
Die Summe der Zahlen von 1-9 ist 9*5 = 45. Die Summe der
zweiten Reihe der 1x1-Tabelle ist dann das Doppelte, 2*45 = 90. Am Ende des
Tabellenaufbaus steht dann (1-9)*45 = 45*45 = 9²*5² = 81*25. Da die Tabelle aus 81 Zahlen besteht, ist der
Durchschnittswert je Zahl 25.
Zwei Zahlen der
horizontal-vertikalen Achse ergänzen sich zu 50, die anderen Zahlen in Gruppen zu je vier zur Summe 100. Als Beispiel diene
das innerste 3*3 Quadrat:
24 |
30 |
36 |
20 |
25 |
30 |
16 |
20 |
24 |
Vom Mittelpunkt
dehnen sich die Achsen der vier Quadrate jeweils um zwei Punkte konzentrisch
aus. Die konzentrischen Quadrate der 1x1-Tabelle sind also gekennzeichnet durch die
Zahlenfolge 3-5-7-9. Die Summen der einzelnen Quadrate ist daher 3²*5², 5²*5², 7²*5², 9²*5² = 15², 25², 35², 45².
Wenn nun
die Summen aller 4 Quadrate jeweils durch 25 teilbar sind,
erscheint das Quadrat 25*25 = 625 als das modellhafteste von allen.
2.
Die Symmetriemitte der Zahlen 1-25 ist 13, in der Reihenfolge
des lateinischen Alphabets der Buchstabe N. Dieser ist auch der Mittelpunkt des SQ, was darauf schließen
läßt, daß man die 5 Reihen von je 5 Punkten von außen nach innen numerierte und den Mittelpunkt als einzigen aller
Buchstaben des SQ mit dem Buchstaben besetzte, der im Alphabet den 13. Platz innehat.
3. Die
Summe der Zahlen von 1-25 ist 13*25 = 325. Das Verhältnis dieser Summe zur Summe 625 in der 1x1-Tabelle ist demnach 25*(13:25). Die erste
Verhältniszahl 13 ist die Mittelpunktszahl der zweiten 25.
Die
Quadratzahl 25 hat die einzigartige Eigenschaft,
Mittelpunktszahl einer weiteren Quadratzahl zu sein, nämlich 49. Die Zahlen 5 und 7 sind auf diese Weise
engstens miteinander verbunden. Die Summe der Zahlen des 7*7-Punkte Quadrats in
der 1x1-Tabelle ist 49*25 =1225, das Verhältnis der
Erweiterungssumme zum 5*5-Punkte Quadrat demnach 25*(24:25).
Insofern
25 die Mittelpunktszahl
von 49 ist, ist das 7*7-Punkte Quadrat das
ideale und vollkommene.
Die
Zahlen 25 und 49 stehen in engem
Zusammenhang mit dem Tetraktysstern, dessen Ausgangsfigur
das Hexagon aus Mittelpunkt + 24 symmetrischen Elementen ist und das um weitere 24 symmetrische Elemente
erweitert und mit einem zweiten konzentrischen Kreis abgeschlossen wird. Dessen
Fläche hat zum Hexagonkreis das Verhältnis 3:1.
Die enge Beziehung von
5 und 7 zeigt sich in der Vereinigung der 3 Hexagonachsen aus 5 Elementen und der 3 Tetraktysseiten aus 7 Elementen:
Die Addition der
Elemente des Hexagons und des ganzen Tetraktyssterns, 25+49 = 74 = 2*37, stellt die Zahl der
Elemente von 2 Tetraktys dar.
4. Tatsächlich
bildet das SQ eine ideale Verbindung der Quadratzahlen 25 und 49, wenn man sich als
Verbindung zwischen 25 Punkte (Buchstaben) des SQ 24 Linien vorstellt. Man kann dies auf einer
einzelnen geraden Strecke, aber auch als ein Achsenkreuz darstellen. In
letzterem Fall läßt sich zweimal dieselbe Formel eintragen – von außen nach
innen:
SATOR OPERA NET – Der Schöpfer webt seine Werke
5. Die 9 Zahlenreihen haben
folgende Faktorensummen (FS):
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
sm |
FS1 |
39 |
38 |
38 |
38 |
38 |
38 |
38 |
38 |
38 |
343 |
FS2 |
– |
18 |
27 |
36 |
45 |
45 |
63 |
54 |
54 |
342 |
|
39 |
56 |
65 |
74 |
83 |
83 |
101 |
92 |
92 |
685 |
FS1 bedeutet die FS der Zahlen 1-9 für jede FS2, das Neunfache einer jeden Zahl. Der Faktor 1 ist nur bei 1*1 wirksam. Die Endsumme
besteht demnach aus (1+9*38)+9*38.
685 = 5*137. Zur Primzahl 137 siehe eigenen Eintrag.
Die ZS+FS der 1x1-Tabelle
beträgt somit 2025+685 = 2710. Die Primzahl 271 ist zu verstehen als Numerierungsumme der Zahlen 2-7 der hexagonalen
Kreislinienpunkte und der Zahl 1 als Mittelpunkt. Die Einzelziffern lassen sich auf den Aufbau der
Tetraktys beziehen: 2 Eckpunkte, 7 hexagonale Punkte und 1 als der Anfangspunkt der Tetraktys. Das
Hexagon ist somit auf die Erweiterung auf den Tetraktysstern ausgerichtet.
Darauf weisen auch die Konstitutivzahlen 136 und 135 mit ihren FW 23+14 = 37. Die Einzelziffern der FW bezeichnen die 5
DM-Elemente, aus 37 Elementen besteht eine Tetraktys. Die Addition 271+37 = 308 = 11*28 zeigt im Faktor 28 wiederum das Prinzip
der Zahl 7.
c)
Die Diagonale und die zwei Hälften
1. Die 9 Quadratzahlen (QZ) – einschließlich 1*1=1 – ergeben die Summe 285 = 15*19:
QZ |
2 |
5 |
2 |
|
||||||
SmQZ |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
49 |
64 |
81 |
285 |
|
5 |
135 |
145 |
|
||||||
FW |
1 |
4 |
6 |
8 |
10 |
10 |
14 |
12 |
12 |
77 |
|
11 |
28 |
38 |
|
In konzentrischer
Aufteilung ist das Summenverhältnis der 4 äußeren zu den 5 inneren Quadratzahlen 150:135 = 15*(10:9). Die Zahlen 10 und 9 weisen auf den Doppelaspekt von 9 DM- und 10 Radialelementen des
Tetraktyssterns hin, die Zahl 15 ist in der Summe 45 der Zahlen 1-9 dreimal enthalten. In der Summierung ungerader (1+9+25+49+81) zu geraden Positionen
(4+16+36+64) ist das Verhältnis 165:120 = 15*(11:8). Die Verhältniszahlen
11 und 8 summieren die DM- und
Radialelemente getrennt nach innerem Kreis und äußerem Kreisring:
|
Die
Summe der Faktorenwerte (FW) 77 ist ebenfalls
konzentrisch aufteilbar und weist das Verhältnis 49:28 = 7*(7:4) auf. In der Summierung ungerader zu geraden
Positionen ist das Verhältnis 43:34.
Die Zahl
77 ist die Faktorensumme
(FS) der Zahlen 1-13. Es ist hier an die 13 Punkte des
Tetraktyssterns zu denken.
2. Die
Quadratzahlen der Diagonale gehören jeder Hälfte der 1x1-Tabelle an. Die
Zahlensumme (ZS) einer Hälfte beträgt 870 = 30*29. Die Summe einer Hälfte SmQZ 870+285 = 1155 = 11*(3*5*7) zeigt die besondere
Zusammengehörigkeit der Zahlen 3, 5 und 7 an: sie sind konstitutiv für die Konstruktion der Tetraktys.
d) Die Faktorenwerte der drei inneren
Quadrate
1.
Die Zusammengehörigkeit der Zahlen 3, 5 und 7 erweist sich auch in
der Ordnung der FW ihrer Quadrate, und zwar jeweils im Verhältnis der beiden Hälften
(H) zur Diagonale (D).
Qu. |
H |
D |
H |
sm |
Verh. |
Diff. |
3*3 |
28 |
28 |
28 |
84 |
1:1:1 |
84 |
5*5 |
96 |
48 |
96 |
240 |
2:1:2 |
156 |
7*7 |
192 |
64 |
192 |
448 |
3:1:3 |
208 |
|
|
|
|
772 |
|
|
Die drei
Verhältnisse haben den Mittelwert des 5*5 Quadrats 2:1:2, ein Hinweis auf die Symmetriestruktur
einer Quadratseite aus 5 Punkten.
Das
Verhältnis 3:1:3 kann sich auf die
Punkteaufteilung der Doppelraute (DR) beziehen. Eine DR besteht aus 21 = 3*7 Elementen.
2.
Zwischen den FS der drei Quadrate
gibt es einige Zahlenverhältnisse:
– Eine
Zahlenhälfte des 7*7 Quadrats verdoppelt die FS des 5*5 Quadrats von 96 auf 192.
– Das FS-Verhältnis des 3*3 zum 7*7 Quadrat beträgt 28*(3:16), bzw. 3:13, wenn man vom Differenzbetrag 448-84 = 364 ausgeht.
– Das FS-Verhältnis des 3*3 zum 5*5 Quadrat beträgt 12*(7:20), bzw. 7:13, wenn man vom Differenzbetrag 240-84 = 156 ausgeht.
– Das FS-Verhältnis des 5*5 zum 7*7 Quadrat beträgt 16*(15:28), bzw. 15:13, wenn man vom Differenzbetrag 448-240 = 208 ausgeht.
Das Verhältnis des
Differenzbetrages zwischen den Quadraten 3*3 und 5*5 (156) sowie 5*5 und 7*7 (208) ist 4*13 = 52*(3:4) = 364. Die Zahl 364 ist zweimal die ZS von SATOR OPERA TENET, die ZS für OPERA ist 52.
3.
Die addierten ZS+FS der drei Quadrate
ergeben:
Qu. |
ZS |
FS |
sm |
3*3 |
225 |
84 |
309 |
5*5 |
625 |
240 |
865 |
7*7 |
1225 |
448 |
1673 |
|
2075 |
772 |
2847 |
2847 = 3*13*73 = FW 89 |
Die
Einzelziffern der Summe 2847 enthalten die 21 Elemente der Doppelraute in ihrer Unterschiedenheit: 2 Querlinien, 8 Rahmenlinien, 4 Flächen, 7 Punkte. In der
Multiplikation 4*7 = 28 sind alle 4 Ziffern enthalten.
1.
Zu unterscheiden sind das horizontal-vertikale
und das diagonale Achsenkreuz. Die Mittelpunktszahl 25 gilt einerseits
einmalig für alle vier Achsen, andererseits auch für jede einzelne Achse bzw.
jedes einzelne Achenkreuz.
2.
Zunächst soll das horizontal-vertikale Achsenkreuz
untersucht werden. Beide Achsen bestehen aus denselben Zahlen. Die ZS beträgt 9*25 = 225 je Achse. Die FS setzt sich zusammen
aus 38 für die Zahlen 2-9 (1 bei Multiplikation
wird nicht gezählt) und 9*5 = 45, zusammen 83, Umkehrung von 38.
Die ZS+FS für die Leitachse
(LAx) beträgt daher 225+83 = 308 = (4*7)*11. Für die Ergänzungsachse (EAx) ergibt sich 200+73 = 273 = 21*13. Die Gesamt- ZS+FS 581 = 7*83 = FW 90 ist wiederum durch 83 teilbar.
Diese
Achsenwerte sind offensichtlich so bedeutsam, daß Vergil sie für die Gesamtzahl 830 (FW 90) seiner Verse der 10 Eklogen verwendete.
Als Verszahlen der ersten und zweiten Ekloge wählte er die FS 83 und 73, zusammen 156. Die Faktoren 12*13 der Zahl 156 besitzen als 12+13 Bedeutung für die
Zahl 25, also für das 5*5-Quadrat sowie den
Durchschnittswert 25 je Zahl der 1x1-Tabelle.
Die ZS+FS 581 bestimmte Vergil für
den bedeutungsschweren 4.
Vers der 4. Ekloge:
ULTIMA CUMAEI VENIT IAM CARMINIS AETAS
Schon
ist das letzte Zeitalter des Cumäischen Liedes gekommen.
Die ZW/FW-Verrechnung ergibt für die ZS+FS des Achsenkreuzes:
|
ZS |
FS |
sm |
FW |
sm |
FW |
|
425 |
156 |
581 |
90 |
|
|
FW |
27 |
20 |
47 |
47 |
|
|
sm |
765=45*17 |
628 |
137 |
765 |
28 |
|
FW |
|
|
161 |
137 |
298 |
151 |
sm |
|
|
|
|
|
179 |
Der
Faktor 17 der Summe 765 steht in
Übereinstimmung mit den 17 Zahlen des Achsenkreuzes, das letzte Ergebnis 179 setzt sich zusammen
aus 9*17 = 153 + 9+17 = 26. (Siehe auch die
Bedeutung der Zahl 153)
3.
Die ZS+FS der einen Diagonalachse mit den Quadratzahlen ist bereits
bekannt: 285+77. Die Zahlen der
zweiten Achse sind in jeder Hälfte gleich, da die Produkte lediglich Umkehrungen
der 4 komplementären Zahlenpaare sind, z.B. 3*7 und 7*3. Die FS der beiden Hälften ist 33+33 = 66 und bildet mit der FS 77 der ersten Achse das
Verhältnis 11*(6:7)
= 143.
4.
Mit dem FW 10 der Mittelpunktszahl 25 ist die FS der beiden
Achsenkreuze jeweils durch 13 teilbar: 156:143 = 13*(12:11) = 13*23. Bei einem einzigen Mittelpunkt beträgt die FS der 4*8 +1 = 33 Achsenzahlen 289 = 17*17. Diese Quadratzahl
weist auf die jeweils 17 Punkte eines Achsenkreuzes AK5 hin.
Unter Einschluß der
Zahl 25 liefert die ZW/FW-Verrechnung des diagonalen
Achsenkreuzes folgendes Ergebnis:
|
ZS |
FS |
sm |
FW |
sm |
|
425 |
143 |
568 |
77 |
|
FW |
27 |
24 |
51 |
20 |
|
sm |
|
|
619 |
97 |
|
FW |
|
|
619 |
97 |
716 |
716 = 4*179 |
Die
Endergebnisse der beiden Achsenkreuze bilden das Verhältnis 179*(1:4).
5.
Die ZS+FS der beiden Achsenkreuze ist 33*25 + 289 = 1114 = FW 559. Die Einzelziffern
geben 2*5 Radialemente und 9 DM-Elemente wieder. Die
Zahl 1114 läßt sich auf die 3 Linien und 4 Punkte einer
Tetraktysseite beziehen. Aus 11+14 = 25 besteht die Summe eines Numerierungsmodus einer Tetraktysseite,
wenn man für die Erweiterungselemente die Zahl 4 und 5 zuteilt:
1.
Die folgende Grafik zeigt 8 Felder mit je 6 Zahlen, die durch die
beiden Achsenkreuze gebildet werden:
|
Die ZS der 4 äußeren und 4 inneren (blau und
grün markierten) Felder betragen jeweils 600, die FS jeweils 198 = 11*18:
ZS |
|
FS |
||||||
65 |
165 |
335 |
335 |
|
42 |
57 |
72 |
72 |
35 |
35 |
65 |
165 |
|
27 |
27 |
42 |
57 |
100 |
600 |
500 |
|
69 |
198 |
129 |
Die FS sind jedoch auch in
der diagonalen Aufteilung gleich. Die Felder haben paarweise gleiche Summen:
42 |
57 |
72 |
72 |
27 |
27 |
42 |
57 |
2*99 |
2*99 |
2.
Zwei rote Zahlen trennen zweimal zwei weitere.
Jeweils drei Zahlen, z.B. 2,3,4 und 6,7,8 ergeben mit drei Zahlen eines komplementären
Feldes die FS 15, die drei anderen Zahlen
18, sodaß ein
durchgängiges Verhältnis 3*(5:6) zu erkennen ist:
ZW |
FW |
sm |
ZW |
FW |
sm |
ZW |
FW |
sm |
||||||
4 |
54 |
4 |
11 |
15 |
2 |
63 |
2 |
13 |
15 |
3 |
72 |
3 |
12 |
15 |
6 |
56 |
5 |
13 |
18 |
8 |
42 |
6 |
12 |
18 |
12 |
48 |
7 |
11 |
18 |
6 |
36 |
5 |
10 |
15 |
7 |
18 |
7 |
8 |
15 |
8 |
27 |
6 |
9 |
15 |
14 |
24 |
9 |
9 |
18 |
12 |
28 |
7 |
11 |
18 |
18 |
32 |
8 |
10 |
18 |
3.
Die Zahlen 15 und 18 dürften sich
vornehmlich auf das Hexagon mit seinen drei Achsen und den Doppelaspekt von 5 DM- und 6 Radialelementen
beziehen:
|
4.
Die den dreifachen FS entsprechenden ZS der diagonalen
Zahlenfelder (links unten nach rechts oben, rechts oben nach links unten) sind:
|
FS |
Sm |
ZS |
Sm |
||
|
15 |
18 |
|
15 |
18 |
|
li.u. |
45 |
54 |
99 |
198 |
172 |
370 |
re.o. |
45 |
54 |
99 |
102 |
128 |
230 |
|
90 |
108 |
198 |
300 |
300 |
600 |
Das
Verhältnis der beiden diagonalen ZS ist 198:102 = 6*(33:17) und 172:128 = 4*(43:32). Die Zahl 33 verweist auf die 33 Elemente des
Achsenkreuzes AK5, 33*17 = 561 ist die Summe der Zahlen 1-33. Die FW der Umkehrzahlen 12 und 21, die 33 ergeben, sind 7+10 = 17.
Die
Einzelziffern der Verhältniszahlen 43 und 32 sind beziehbar auf die Punkte und Linien
einer Tetraktysseite und der Kreisachse.
Die FS:ZS-Verhältnisse sind 90:300 = 30*(3:10) und 108:300 = 12*(9:25). Die Zahlen 3 und 10 verweisen auf die
Punktzahlen des Tetraktyssterns, die Zahlen 9 und 25 auf das 5*5-Punkte Quadrat, da das interne
Differenzverhältnis 9:16 beträgt, d.h., das 3*3-Punkte Quadrat wird um 16 Punkte erweitert.
Erstellt: November 2009
Letze Änderung:
August 2010